Задание №22 — Алгебраические выражения

Решение.

Функция кусочно-заданная, разберём каждую часть.

1. При $x \ge -2$: $y = x^2 + 2$ — часть параболы ветвями вверх с вершиной $(0;\,2)$. На границе при $x = -2$: $y = (-2)^2 + 2 = 6$; точка $(-2;\,6)$ принадлежит графику (закрашена).

2. При $x < -2$: $y = -\frac{6}{x}$ — ветвь гиперболы. При $x < -2$ значения положительны; при $x = -2$ было бы $y = 3$, но точка $(-2;\,3)$ выколота. При $x \to -\infty$ значения стремятся к $0$ сверху. Значит, на этой ветви $y$ принимает все значения из интервала $(0;\,3)$, каждое ровно один раз.

Число общих точек с прямой $y = m$.

Парабола $x^2 + 2 = m$ при $x \ge -2$:
— $m < 2$: 0 точек;
— $m = 2$: 1 точка (вершина);
— $2 < m < 6$: 2 точки;
— $m = 6$: 2 точки ($x = 2$ и $x = -2$);
— $m > 6$: 1 точка (корень $x = -\sqrt{m-2} < -2$ не подходит).

Гипербола ($x < -2$):
— $0 < m < 3$: 1 точка;
— иначе 0 точек.

Складываем число точек:
— $0 < m < 2$: $0 + 1 = 1$;
— $m = 2$: $1 + 1 = 2$;
— $2 < m < 3$: $2 + 1 = 3$;
— $m = 3$: $2 + 0 = 2$;
— $3 < m < 6$: $2 + 0 = 2$;
— $m = 6$: $2 + 0 = 2$;
— $m > 6$: $1 + 0 = 1$.

Ровно одна общая точка получается при $0 < m < 2$ и при $m > 6$. Значение $m = 6$ не подходит: прямая $y = 6$ пересекает параболу в двух точках $(-2;\,6)$ и $(2;\,6)$.

Ответ: $0 < m < 2$; $m > 6$.