Задание №22 — Алгебраические выражения

Решение.

1. Сначала найдём область определения функции. Знаменатель дроби не может быть равен нулю:
$9x^2 + x \neq 0$
Вынесем $x$ за скобки:
$x(9x + 1) \neq 0$
Отсюда $x \neq 0$ и $9x + 1 \neq 0$, то есть $x \neq -\frac{1}{9}$.
Область определения: все числа, кроме $0$ и $-\frac{1}{9}$.

2. Упростим выражение функции на её области определения:
$y = \frac{9x + 1}{x(9x + 1)}$
Сократим дробь на $(9x + 1)$:
$y = \frac{1}{x}$
Таким образом, график данной функции — это гипербола $y = \frac{1}{x}$ с одной «выколотой» точкой. Найдём координаты этой точки. Так как $x \neq -\frac{1}{9}$, то:
$y = \frac{1}{-1/9} = -9$.
Точка, которую нужно исключить из графика: $A(-\frac{1}{9}; -9)$.

3. Теперь рассмотрим прямую $y = kx$. Это прямая, проходящая через начало координат $(0; 0)$. Нам нужно найти такие значения $k$, при которых эта прямая имеет с графиком ровно одну общую точку.

4. Возможны два случая:
Случай А: Прямая проходит через «выколотую» точку $A(-\frac{1}{9}; -9)$. В этом месте гиперболы нет, но если прямая пересекает гиперболу в другой точке и проходит через «пустоту» в точке $A$, то общая точка будет только одна.
Подставим координаты точки $A$ в уравнение $y = kx$:
$-9 = k \cdot (-\frac{1}{9})$
Умножим обе части на $-9$:
$k = 81$.
Проверим, сколько точек пересечения у $y = 81x$ и $y = \frac{1}{x}$:
$81x = \frac{1}{x} \Rightarrow 81x^2 = 1 \Rightarrow x^2 = \frac{1}{81} \Rightarrow x = \pm \frac{1}{9}$.
Точка $x = -\frac{1}{9}$ выколота, остаётся только одна точка пересечения при $x = \frac{1}{9}$. Значит, $k = 81$ нам подходит.

Случай Б: Прямая касается гиперболы.
Уравнение $kx = \frac{1}{x}$ должно иметь ровно одно решение.
$kx^2 = 1$
Если $k > 0$, то $x^2 = \frac{1}{k}$, что даёт два корня: $x = \pm \frac{1}{\sqrt{k}}$ (две точки пересечения).
Если $k < 0$, то $x^2 = \frac{1}{k}$ не имеет решений (нет точек пересечения).
Если $k = 0$, то $0 = 1$ — решений нет.
Следовательно, касания (одной точки пересечения через дискриминант) в данном случае не существует, так как при любом $k > 0$ будет либо две точки, либо (если одна из них совпала с выколотой) одна.

5. Мы уже нашли, что при $k = 81$ одна из двух точек пересечения совпадает с выколотой, и остаётся ровно одна общая точка. Других подобных ситуаций нет, так как точка $x=0$ и так не входит в область определения гиперболы, а прямая $y=kx$ всегда проходит через $(0,0)$, где гипербола не определена.

Ответ: 81

Источник: ФИПИ