Задание №22 — Алгебраические выражения

Решение.

1. Область определения функции.
Функция содержит дробь, поэтому знаменатель не может быть равен нулю:
$x^2 + 5x \neq 0$
$x(x + 5) \neq 0$
Отсюда $x \neq 0$ и $x \neq -5$.
Значит, область определения функции — все числа, кроме $0$ и $-5$. График будет иметь «выколотые» точки в этих местах.

2. Упрощение выражения.
Преобразуем формулу функции, разложив знаменатель на множители:
$y = 3 - \frac{x + 5}{x(x + 5)}$
Сократим дробь на $(x + 5)$, учитывая, что $x \neq -5$:
$y = 3 - \frac{1}{x}$
Таким образом, график данной функции совпадает с графиком функции $y = 3 - \frac{1}{x}$ везде, кроме точки с абсциссой $x = -5$.

3. Построение графика.
Графиком функции $y = 3 - \frac{1}{x}$ является гипербола, полученная из гиперболы $y = -\frac{1}{x}$ сдвигом вверх на $3$ единицы. У этой гиперболы есть горизонтальная асимптота $y = 3$.
Найдём координаты «выколотой» точки. Подставим $x = -5$ в упрощённое уравнение:
$y = 3 - \frac{1}{-5} = 3 + 0,2 = 3,2$.
Точка с координатами $(-5; 3,2)$ будет отсутствовать на графике. Также график не существует при $x = 0$ (вертикальная асимптота).

4. Исследование количества общих точек с прямой $y = m$.
Прямая $y = m$ — это горизонтальная прямая. Она не будет иметь общих точек с графиком функции в двух случаях:
1) Если прямая совпадает с горизонтальной асимптотой гиперболы. Для функции $y = 3 - \frac{1}{x}$ это прямая $y = 3$. Значит, при $m = 3$ общих точек нет.
2) Если прямая проходит через «выколотую» точку графика. Мы нашли, что при $x = -5$ значение функции должно было быть $3,2$. Значит, при $m = 3,2$ прямая $y = 3,2$ не пересечёт график.

Ответ: 3; 3,2

Источник: ФИПИ