Задание №25 — Геометрия

Решение.

1. Пусть $K$ — точка касания окружности с лучом $AB$. По свойству касательной и секущей, проведённых из одной точки к окружности, квадрат расстояния от точки $A$ до точки касания равен произведению длин отрезков секущей:
$AK^2 = AM \cdot AN$.
Подставим известные значения: $AM = 12$, $AN = 45$.
$AK^2 = 12 \cdot 45 = 540$.
Отсюда $AK = \sqrt{540} = \sqrt{36 \cdot 15} = 6\sqrt{15}$.

2. Рассмотрим треугольник $AMK$. По теореме косинусов найдём сторону $MK$:
$MK^2 = AM^2 + AK^2 - 2 \cdot AM \cdot AK \cdot \cos \angle BAC$.
Подставим значения:
$MK^2 = 12^2 + (6\sqrt{15})^2 - 2 \cdot 12 \cdot 6\sqrt{15} \cdot \frac{\sqrt{15}}{4}$
$MK^2 = 144 + 540 - 2 \cdot 12 \cdot 6 \cdot \frac{15}{4} = 684 - 540 = 144$.
Следовательно, $MK = \sqrt{144} = 12$.

3. Заметим, что в треугольнике $AMK$ стороны $AM = 12$ и $MK = 12$. Значит, треугольник $AMK$ — равнобедренный, и углы при его основании $AK$ равны: $\angle MAK = \angle MKA$.
Найдём синус угла $A$ (угла $BAC$), используя основное тригонометрическое тождество:
$\sin^2 \angle A = 1 - \cos^2 \angle A = 1 - (\frac{\sqrt{15}}{4})^2 = 1 - \frac{15}{16} = \frac{1}{16}$.
Так как угол $A$ — угол треугольника, его синус положителен: $\sin \angle A = \frac{1}{4}$.

4. По свойству угла между касательной $AK$ и хордой $KN$, этот угол равен вписанному углу, опирающемуся на ту же хорду. Пусть $\angle KNM = \alpha$. Тогда $\angle AKN = \alpha$.
Рассмотрим треугольник $AKN$. В нём $AK = 6\sqrt{15}$, $AN = 45$, $\sin \angle A = \frac{1}{4}$, $\cos \angle A = \frac{\sqrt{15}}{4}$.
Найдём сторону $KN$ по теореме косинусов:
$KN^2 = AK^2 + AN^2 - 2 \cdot AK \cdot AN \cdot \cos \angle A$
$KN^2 = 540 + 45^2 - 2 \cdot 6\sqrt{15} \cdot 45 \cdot \frac{\sqrt{15}}{4} = 540 + 2025 - 3 \cdot 45 \cdot 15 = 2565 - 2025 = 540$.
Значит, $KN = \sqrt{540} = 6\sqrt{15}$. Треугольник $AKN$ также равнобедренный ($AK = KN$).

5. В треугольнике $AKN$ углы при основании $AN$ равны: $\angle KAN = \angle KNA$.
Следовательно, $\sin \angle KNA = \sin \angle A = \frac{1}{4}$.

6. Искомый радиус $R$ — это радиус описанной окружности треугольника $MKN$. По теореме синусов для треугольника $MKN$:
$2R = \frac{MK}{\sin \angle KNM}$.
Мы знаем, что $MK = 12$ и $\sin \angle KNM = \sin \angle KNA = \frac{1}{4}$.
$2R = \frac{12}{1/4} = 12 \cdot 4 = 48$.
$R = \frac{48}{2} = 24$.

Ответ: 24

Источник: ФИПИ