Задание №25 — Геометрия

Решение.

1) Пусть $K$ — точка пересечения боковых сторон $AB$ и $CD$ трапеции. Рассмотрим треугольник $AKD$. По условию сумма углов при основании $AD$ равна $90^\circ$, то есть $\angle A + \angle D = 90^\circ$. Следовательно, третий угол треугольника $\angle AKD = 180^\circ - (\angle A + \angle D) = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$. Таким образом, треугольник $AKD$ — прямоугольный.

2) Поскольку основания трапеции $BC$ и $AD$ параллельны, треугольники $BKC$ и $AKD$ подобны по двум углам (угол $K$ общий, $\angle KBC = \angle KAD$ как соответственные). Из подобия следует отношение сторон:
$\frac{BK}{AK} = \frac{BC}{AD}$.
Пусть $BK = x$. Тогда $AK = AB + BK = 20 + x$.
Подставим известные значения: $\frac{x}{20 + x} = \frac{21}{49}$.
Сократим дробь $\frac{21}{49}$ на 7, получим $\frac{3}{7}$.
Решим уравнение: $7x = 3(20 + x) \Rightarrow 7x = 60 + 3x \Rightarrow 4x = 60 \Rightarrow x = 15$.
Значит, $BK = 15$, а $AK = 15 + 20 = 35$.

3) Окружность проходит через точки $A$ и $B$. Это значит, что прямая $AK$ является секущей для этой окружности. По условию окружность касается прямой $CD$ (или прямой $KD$). Пусть $M$ — точка касания окружности с прямой $KD$. По свойству касательной и секущей, проведенных из одной точки:
$KM^2 = KB \cdot KA$.
Подставим найденные длины отрезков: $KM^2 = 15 \cdot 35 = 525$.
Отсюда $KM = \sqrt{525} = \sqrt{25 \cdot 21} = 5\sqrt{21}$.

4) Введем систему координат или воспользуемся геометрическим методом для поиска радиуса. Центр окружности $O$ лежит на серединном перпендикуляре к хорде $AB$. Пусть $H$ — середина $AB$. Тогда $AH = HB = 20 : 2 = 10$. Расстояние от точки $K$ до точки $H$ равно $KH = KB + BH = 15 + 10 = 25$.
Проведем перпендикуляры из центра $O$ к секущей $AK$ (это отрезок $OH$) и к касательной $KM$ (это радиус $OM$). Так как $\angle AKD = 90^\circ$, четырехугольник $OHKM$ является прямоугольником (у него три угла прямые: $\angle H, \angle K, \angle M$).
В прямоугольнике противолежащие стороны равны, значит, $OM = KH$.
Так как $OM$ — это радиус окружности $R$, а $KH = 25$, то $R = 25$.

Ответ: 25

Источник: ФИПИ