Задание №22 — Функции

Решение.

Данная функция является кусочно-заданной. Построим её график, рассматривая каждый участок отдельно.

1) Рассмотрим первую часть функции: $y = x^2 - 6x + 11$ при $x \geq 2$.
Графиком является часть параболы, ветви которой направлены вверх (так как коэффициент при $x^2$ положителен).
Найдём координаты вершины параболы:
$x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{-6}{2 \cdot 1} = 3$.
$y_0 = 3^2 - 6 \cdot 3 + 11 = 9 - 18 + 11 = 2$.
Вершина находится в точке $(3; 2)$.
Найдём значение функции на границе участка при $x = 2$:
$y(2) = 2^2 - 6 \cdot 2 + 11 = 4 - 12 + 11 = 3$. Точка $(2; 3)$ принадлежит графику.

2) Рассмотрим вторую часть функции: $y = x + 3$ при $x < 2$.
Графиком является луч (часть прямой). Для построения возьмём две точки:
Если $x = 0$, то $y = 3$.
Если $x = 2$, то $y = 2 + 3 = 5$.
Заметим, что при $x = 2$ значения функций не совпадают ($3 \neq 5$), значит, в этой точке на графике будет разрыв. Так как условие для прямой $x < 2$, точка $(2; 5)$ будет «выколотой».

3) Теперь определим, при каких значениях $m$ прямая $y = m$ (горизонтальная прямая) имеет с графиком ровно две общие точки.
Проанализируем количество пересечений при движении прямой $y = m$ снизу вверх:
— При $m < 2$: прямая не имеет общих точек с графиком.
— При $m = 2$: прямая проходит через вершину параболы $(3; 2)$ и пересекает луч $y = x + 3$. Итого 2 точки.
— При $2 < m < 3$: прямая пересекает параболу в двух точках и луч в одной точке. Итого 3 точки.
— При $m = 3$: прямая проходит через граничную точку параболы $(2; 3)$, ещё одну точку параболы правее и одну точку луча. Итого 3 точки.
— При $3 < m < 5$: прямая пересекает правую ветвь параболы (одна точка) и луч (одна точка). Итого 2 точки.
— При $m = 5$: прямая пересекает параболу в одной точке, а в точке $(2; 5)$ у луча «дырка», поэтому здесь только 1 точка пересечения.
— При $m > 5$: прямая пересекает только правую ветвь параболы. Итого 1 точка.

Таким образом, ровно две общие точки график имеет при $m = 2$ и в интервале $3 < m < 5$.

Ответ: 2; (3; 5).

Источник: ФИПИ