Задание №22 — Алгебраические выражения

Решение.

Данная функция является кусочно-заданной. Построим её график, рассматривая каждый промежуток отдельно.

1) На промежутке $x \geq -4$ функция имеет вид $y = x^2 + 4x + 4$.
Заметим, что это квадратный трёхчлен, который можно свернуть по формуле квадрата суммы: $y = (x + 2)^2$.
Графиком является парабола, ветви которой направлены вверх. Вершина параболы находится в точке $(-2; 0)$.
Найдём значения функции на границе и в нескольких точках:
При $x = -4$: $y = (-4 + 2)^2 = 4$. Точка $(-4; 4)$ закрашенная (так как знак $\geq$).
При $x = -2$: $y = 0$ (вершина).
При $x = 0$: $y = 4$.
При $x = 1$: $y = 9$.

2) На промежутке $x < -4$ функция имеет вид $y = -\frac{16}{x}$.
Графиком является ветвь гиперболы, расположенная во второй четверти (так как $x < 0$ и коэффициент $-16$ отрицательный).
Найдём значение функции при приближении к границе:
При $x = -4$: $y = -\frac{16}{-4} = 4$. Точка $(-4; 4)$ совпадает с точкой параболы, график функции непрерывен.
При $x = -8$: $y = -\frac{16}{-8} = 2$.
При $x = -16$: $y = -\frac{16}{-16} = 1$.
При $x \to -\infty$ значения $y$ стремятся к $0$, но никогда не достигают его (ось $Ox$ — горизонтальная асимптота).

3) Определим количество общих точек графика с прямой $y = m$.
Прямая $y = m$ — это горизонтальная прямая. Будем мысленно перемещать её снизу вверх (увеличивая $m$):
— При $m < 0$: прямая находится ниже оси $Ox$, общих точек с графиком нет.
— При $m = 0$: прямая совпадает с осью $Ox$. Она касается вершины параболы в точке $(-2; 0)$ и бесконечно приближается к ветви гиперболы слева, но не пересекает её. Значит, здесь ровно 1 общая точка.
— При $0 < m < 4$: прямая пересекает ветвь гиперболы (один раз) и две ветви параболы. Итого 3 точки.
— При $m = 4$: прямая проходит через точку стыка $(-4; 4)$ и через правую ветвь параболы в точке $(0; 4)$. Итого 2 общие точки.
— При $m > 4$: прямая пересекает только две ветви параболы. Итого 2 общие точки.

Таким образом, одна или две общие точки наблюдаются при $m = 0$ и при $m \geq 4$.

Ответ: $m = 0$; $m \geq 4$.

Источник: ФИПИ