Задание №25 — Геометрия

#48524Задание №25ФИПИ

Окружность и круг

В треугольнике $A B C$ известны длины сторон $A B = 28$ , $A C = 56$ , точка $O$ $—$ центр окружности, описанной около треугольника $A B C$ . Прямая $B D$ , перпендикулярная прямой $A O$ , пересекает сторону $A C$ в точке $D$ .
Найдите $C D$ .

Ваше решениедо 2 баллов

Проверка решения с помощью ИИ доступна авторизованным пользователям

Решение.

1) Пусть $\angle BAC = \alpha$ . Проведём касательную к описанной окружности в точке $A$ . Обозначим её $AK$ . По свойству радиуса, проведённого в точку касания, $AO \perp AK$ . По условию задачи $BD \perp AO$ . Если две прямые перпендикулярны третьей, то они параллельны между собой. Следовательно, $AK \parallel BD$ .

2) Угол между касательной $AK$ и хордой $AB$ равен половине дуги $AB$ , которую стягивает эта хорда. В то же время вписанный угол $ACB$ также равен половине дуги $AB$ . Значит, $\angle KAB = \angle ACB$ .

3) Так как $AK \parallel BD$ , то накрест лежащие углы при пересечении этих прямых секущей $AB$ равны: $\angle KAB = \angle ABD$ . Из этого следует, что $\angle ABD = \angle ACB$ .

4) Рассмотрим треугольники $ABD$ и $ACB$ :
— Угол $\angle A$ у них общий;
— $\angle ABD = \angle ACB$ (доказано выше).
Следовательно, треугольники $ABD$ и $ACB$ подобны по двум углам ( $\triangle ABD \sim \triangle ACB$ ).

5) Из подобия треугольников запишем отношение соответствующих сторон:
$\frac{AB}{AC} = \frac{AD}{AB}$ .
Подставим известные значения сторон $AB = 28$ и $AC = 56$ :
$\frac{28}{56} = \frac{AD}{28}$ .
Упростим дробь: $\frac{1}{2} = \frac{AD}{28}$ .
Отсюда находим длину отрезка $AD$ :
$AD = \frac{28 \cdot 1}{2} = 14$ .

6) Точка $D$ лежит на стороне $AC$ , поэтому длина искомого отрезка $CD$ равна разности длин $AC$ и $AD$ :
$CD = AC - AD = 56 - 14 = 42$ .

Ответ: 42

Источник: ФИПИ