Задание №25 — Геометрия

Решение.

1) Пусть $M$ — середина боковой стороны $AB$. По условию $AM = MB = \frac{AB}{2} = \frac{4}{2} = 2$. Проведём через точку $M$ прямую, параллельную основаниям трапеции $BC$ и $AD$. Эта прямая пересечёт сторону $CD$ в точке $K$. По теореме Фалеса (или как средняя линия трапеции), точка $K$ будет серединой стороны $CD$, то есть $CK = KD = \frac{CD}{2} = \frac{5}{2} = 2,5$.

2) Отрезок $MK$ является средней линией трапеции $ABCD$. По свойству средней линии $MK \parallel AD$. Рассмотрим углы при параллельных прямых $MK$ и $AD$ и секущей $DK$. Угол $KDM$ равен углу $KMD$ как накрест лежащие.

3) По условию $DM$ — биссектриса угла $ADC$, значит, $\angle ADM = \angle KDC$. Из этого следует, что $\angle KMD = \angle KDM$. Таким образом, треугольник $MKD$ является равнобедренным с основанием $MD$, а значит, его боковые стороны равны: $MK = KD = 2,5$.

4) Используя формулу средней линии трапеции $MK = \frac{BC + AD}{2}$, найдём основание $AD$:
$2,5 = \frac{1 + AD}{2}$
$5 = 1 + AD$
$AD = 4$.

5) Теперь нам известны все стороны трапеции: $AB = 4$, $BC = 1$, $CD = 5$, $AD = 4$. Заметим, что $AB = AD = 4$. Проведём высоты $BH$ и $CE$ из вершин верхнего основания на нижнее. Пусть $AH = x$. Тогда $HE = BC = 1$, а $ED = AD - AH - HE = 4 - x - 1 = 3 - x$.

6) Из прямоугольных треугольников $ABH$ и $DCE$ по теореме Пифагора выразим квадрат высоты $h = BH = CE$:
$h^2 = AB^2 - AH^2 = 4^2 - x^2 = 16 - x^2$
$h^2 = CD^2 - ED^2 = 5^2 - (3 - x)^2 = 25 - (9 - 6x + x^2) = 16 + 6x - x^2$

7) Приравняем выражения для $h^2$:
$16 - x^2 = 16 + 6x - x^2$
$0 = 6x$, откуда $x = 0$.

8) Так как $x = 0$, точка $H$ совпадает с точкой $A$. Это означает, что сторона $AB$ перпендикулярна основанию $AD$, то есть трапеция прямоугольная, и её высота $h = AB = 4$.

9) Найдём площадь трапеции по формуле $S = \frac{BC + AD}{2} \cdot h$:
$S = \frac{1 + 4}{2} \cdot 4 = \frac{5}{2} \cdot 4 = 5 \cdot 2 = 10$.

Ответ: 10

Источник: ФИПИ