Задание №25 — Геометрия

Решение.

1. По условию точка $M$ является серединой стороны $AD$ и равноудалена от всех вершин четырёхугольника. Это означает, что $MA = MB = MC = MD$.

2. Так как расстояния от точки $M$ до всех вершин равны, то точка $M$ является центром окружности, описанной около данного четырёхугольника. При этом отрезок $AD$ является диаметром этой окружности, так как $M$ — его середина и $MA = MD = R$, где $R$ — радиус окружности.

3. Рассмотрим треугольники $AMB$, $BMC$ и $CMD$. Все они являются равнобедренными, так как их боковые стороны равны радиусу окружности ($MA=MB=MC=MD$).

4. Пусть $\angle MAB = \alpha$. Тогда в равнобедренном треугольнике $AMB$ углы при основании равны: $\angle MBA = \angle MAB = \alpha$.
Пусть $\angle MDC = \beta$. Тогда в равнобедренном треугольнике $CMD$ углы при основании равны: $\angle MCD = \angle MDC = \beta$.

5. Обозначим углы при вершине $M$ в треугольнике $BMC$. Пусть $\angle MBC = x$ и $\angle MCB = x$, так как треугольник $BMC$ равнобедренный ($MB = MC$).
По условию задачи $\angle B = 110^\circ$ и $\angle C = 100^\circ$. Мы можем выразить их через введённые углы:
$\angle B = \angle MBA + \angle MBC = \alpha + x = 110^\circ$
$\angle C = \angle MCD + \angle MCB = \beta + x = 100^\circ$

6. Сумма углов выпуклого четырёхугольника $ABCD$ равна $360^\circ$. Запишем это уравнение:
$\angle A + \angle B + \angle C + \angle D = 360^\circ$
Подставим известные значения и выражения через $\alpha$ и $\beta$:
$\alpha + 110^\circ + 100^\circ + \beta = 360^\circ$
$\alpha + \beta + 210^\circ = 360^\circ$
$\alpha + \beta = 150^\circ$

7. Теперь вернёмся к системе уравнений из шага 5:
$\alpha + x = 110^\circ$
$\beta + x = 100^\circ$
Сложим эти два уравнения:
$\alpha + \beta + 2x = 210^\circ$
Подставим найденное значение $\alpha + \beta = 150^\circ$:
$150^\circ + 2x = 210^\circ$
$2x = 60^\circ$
$x = 30^\circ$

8. Таким образом, в равнобедренном треугольнике $BMC$ углы при основании равны $x = 30^\circ$. Тогда угол при вершине $M$ равен:
$\angle BMC = 180^\circ - (30^\circ + 30^\circ) = 120^\circ$.

9. Применим теорему косинусов для треугольника $BMC$, чтобы найти радиус $R = MB = MC$:
$BC^2 = MB^2 + MC^2 - 2 \cdot MB \cdot MC \cdot \cos(120^\circ)$
$14^2 = R^2 + R^2 - 2 \cdot R^2 \cdot (-0,5)$
$196 = 2R^2 + R^2$
$3R^2 = 196$
$R^2 = \frac{196}{3}$
$R = \frac{14}{\sqrt{3}}$

10. Сторона $AD$ является диаметром окружности, то есть $AD = 2R$:
$AD = 2 \cdot \frac{14}{\sqrt{3}} = \frac{28}{\sqrt{3}} = \frac{28\sqrt{3}}{3}$.

Ответ: $\frac{28\sqrt{3}}{3}$

Источник: ФИПИ