Задание №22 — Алгебраические выражения

Решение.

Для построения графика функции $y = |x^2 + 4x - 5|$ сначала рассмотрим вспомогательную функцию $f(x) = x^2 + 4x - 5$. Графиком этой функции является парабола, ветви которой направлены вверх (так как коэффициент при $x^2$ положителен).

1) Найдём координаты вершины параболы:
Абсцисса вершины: $x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{4}{2 \cdot 1} = -2$.
Ордината вершины: $y_0 = f(-2) = (-2)^2 + 4 \cdot (-2) - 5 = 4 - 8 - 5 = -9$.
Вершина находится в точке $(-2; -9)$.

2) Найдём точки пересечения с осями координат:
С осью $Oy$: при $x = 0$, $y = -5$. Точка $(0; -5)$.
С осью $Ox$: решим уравнение $x^2 + 4x - 5 = 0$. По теореме Виета корни: $x_1 = 1$, $x_2 = -5$. Точки $(1; 0)$ и $(-5; 0)$.

3) Построение графика с модулем:
Функция $y = |f(x)|$ получается из $y = f(x)$ путём зеркального отражения частей графика, лежащих ниже оси $Ox$, в верхнюю полуплоскость.
- Части параболы, где $y \ge 0$ (при $x \le -5$ и $x \ge 1$), остаются без изменений.
- Часть параболы, где $y < 0$ (между корнями), отражается вверх. Вершина $(-2; -9)$ переходит в точку $(-2; 9)$.

4) Исследование количества общих точек:
Прямая, параллельная оси абсцисс (оси $Ox$), задаётся уравнением $y = c$, где $c$ — некоторое число.
- Если $c < 0$, общих точек нет (0 точек).
- Если $c = 0$, прямая совпадает с осью $Ox$, имеем 2 точки (корни уравнения).
- Если $0 < c < 9$, прямая пересекает график в 4 точках (две точки на "внешних" ветвях и две на "отражённой" части).
- Если $c = 9$, прямая проходит через отражённую вершину, имеем 3 точки.
- Если $c > 9$, прямая пересекает только внешние ветви, имеем 2 точки.

Следовательно, наибольшее число общих точек равно 4.

Ответ: 4

Источник: ФИПИ