Задание №22 — Функции

Решение.

Функция задана кусочно. Построим график каждой части на соответствующем промежутке.

1) Рассмотрим первую часть функции: $y = x^2 - 10x + 27$ при $x \geq 4$.
Это часть параболы, ветви которой направлены вверх (так как коэффициент при $x^2$ положителен).
Найдём координаты вершины параболы:
$x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{-10}{2 \cdot 1} = 5$.
$y_0 = 5^2 - 10 \cdot 5 + 27 = 25 - 50 + 27 = 2$.
Вершина параболы находится в точке $(5; 2)$.
Найдём значение функции на границе участка: при $x = 4$, $y = 4^2 - 10 \cdot 4 + 27 = 16 - 40 + 27 = 3$. Точка $(4; 3)$ принадлежит графику.

2) Рассмотрим вторую часть функции: $y = x$ при $x < 4$.
Это луч, выходящий из точки $(4; 4)$ (точка не включена, так как строгое неравенство) и идущий в третью четверть через начало координат. Однако, так как в первой части при $x = 4$ мы получили $y = 3$, в точке стыка $x = 4$ происходит разрыв.

3) Построим график. Он состоит из луча прямой $y = x$ до $x = 4$ (не включая точку $(4; 4)$) и части параболы от $x = 4$ (включая точку $(4; 3)$).

4) Определим количество общих точек графика с горизонтальной прямой $y = m$:
— При $m < 2$: прямая пересекает только луч $y = x$, значит, 1 общая точка.
— При $m = 2$: прямая проходит через вершину параболы $(5; 2)$ и пересекает луч $y = x$. Итого 2 общие точки.
— При $2 < m < 3$: прямая пересекает параболу в двух точках и луч $y = x$ в одной точке. Итого 3 общие точки.
— При $m = 3$: прямая проходит через граничную точку параболы $(4; 3)$, пересекает параболу ещё в одной точке справа и пересекает луч $y = x$. Итого 3 общие точки.
— При $3 < m < 4$: прямая пересекает правую ветвь параболы в одной точке и луч $y = x$ в одной точке. Итого 2 общие точки.
— При $m \geq 4$: прямая пересекает только правую ветвь параболы (так как луч $y = x$ заканчивается в "выколотой" точке $(4; 4)$). Итого 1 общая точка.

Таким образом, ровно две общие точки наблюдаются при $m = 2$ и в интервале $3 < m < 4$.

Ответ: 2; (3; 4)

Источник: ФИПИ