Задание №25 — Геометрия

Решение.

1) Проведём касательную $AK$ к описанной окружности треугольника $ABC$ в точке $A$. По свойству касательной, радиус $AO$, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной: $AO \perp AK$.

2) По условию задачи прямая $BD$ также перпендикулярна прямой $AO$ ($BD \perp AO$). Если две прямые перпендикулярны одной и той же прямой, то они параллельны между собой. Следовательно, $BD \parallel AK$.

3) Рассмотрим углы при параллельных прямых $BD$ и $AK$ и секущей $AB$. Угол $KAB$ и угол $ABD$ являются накрест лежащими, значит, $\angle KAB = \angle ABD$.

4) Угол $KAB$ — это угол между касательной $AK$ и хордой $AB$. По теореме о угле между касательной и хордой, он равен половине дуги, которую стягивает эта хорда, то есть $\angle KAB = \frac{1}{2} \cup AB$. В то же время вписанный угол $ACB$ (или $\angle C$) также опирается на дугу $AB$, значит, $\angle ACB = \frac{1}{2} \cup AB$. Отсюда следует, что $\angle KAB = \angle ACB$.

5) Из пунктов 3 и 4 получаем: $\angle ABD = \angle ACB$. Теперь рассмотрим треугольники $ABD$ и $ACB$. У них:
— угол $A$ общий;
— $\angle ABD = \angle ACB$ (как доказано выше).
Следовательно, треугольники $ABD$ и $ACB$ подобны по двум углам ($\triangle ABD \sim \triangle ACB$).

6) Из подобия треугольников запишем отношение соответствующих сторон:
$\frac{AB}{AC} = \frac{AD}{AB}$.
Подставим известные значения сторон $AB = 12$ и $AC = 72$:
$\frac{12}{72} = \frac{AD}{12}$.
Сократим дробь $\frac{12}{72} = \frac{1}{6}$, тогда:
$\frac{1}{6} = \frac{AD}{12}$.
Отсюда $AD = \frac{12 \cdot 1}{6} = 2$.

7) Отрезок $AC$ состоит из суммы отрезков $AD$ и $CD$. Чтобы найти $CD$, нужно из всей стороны $AC$ вычесть найденный отрезок $AD$:
$CD = AC - AD = 72 - 2 = 70$.

Ответ: 70

Источник: ФИПИ