Задание 25

Геометрическая задача повышенной сложности · 160 заданий

Задание №25
№25
Окружность пересекает стороны A B и A C треугольника A B C в точках K и P соответственно и проходит через вершины B и C . Найдите длину отрезка K P ,…
Окружность и круг
Задание №25
№25
Окружность пересекает стороны A B и A C треугольника A B C в точках K и P соответственно и проходит через вершины B и C . Найдите длину отрезка K P ,…
Окружность и круг
Задание №25
№25
Окружность с центром на стороне A C треугольника A B C проходит через вершину C и касается прямой A B в точке B . Найдите A C , если диаметр окружност…
Окружность и круг
Задание №25
№25
Окружность пересекает стороны A B и A C треугольника A B C в точках K и P соответственно и проходит через вершины B и C . Найдите длину отрезка K P ,…
Треугольник
Задание №25
№25
Окружность пересекает стороны A B и A C треугольника A B C в точках K и P соответственно и проходит через вершины B и C . Найдите длину отрезка K P ,…
Треугольник
Задание №25
№25
Окружность пересекает стороны A B и A C треугольника A B C в точках K и P соответственно и проходит через вершины B и C . Найдите длину отрезка K P ,…
Треугольник
Задание №25
№25
Окружность пересекает стороны A B и A C треугольника A B C в точках K и P соответственно и проходит через вершины B и C . Найдите длину отрезка K P ,…
Окружность и круг
Задание №25
№25
Окружность пересекает стороны A B и A C треугольника A B C в точках K и P соответственно и проходит через вершины B и C . Найдите длину отрезка K P ,…
Окружность и круг
Задание №25
№25
Окружность пересекает стороны A B и A C треугольника A B C в точках K и P соответственно и проходит через вершины B и C . Найдите длину отрезка K P ,…
Треугольник
Задание №25
№25
На стороне B C остроугольного треугольника A B C как на диаметре построена полуокружность, пересекающая высоту A D в точке M , A D = 9 , M D = 6 , H —…
Окружность и круг
Задание №25
№25
В трапеции A B C D боковая сторона A B перпендикулярна основанию B C . Окружность проходит через точки C и D и касается прямой A B в точке E . Найдите…
Окружность и круг
Задание №25
№25
В равнобедренную трапецию, периметр которой равен 200, а площадь равна 2000, можно вписать окружность. Найдите расстояние от точки пересечения диагона…
Многоугольники

Задание №25 — Геометрия

В треугольнике $A B C$ известны длины сторон $A B = 12$ , $A C = 72$ , точка $O$ $—$ центр окружности, описанной около треугольника $A B C$ . Прямая $B D$ , перпендикулярная прямой $A O$ , пересекает сторону $A C$ в точке $D$ .
Найдите $C D$ .

Ваше решениедо 2 баллов

Запишите решение задачи...

Решение

Решение.

1) Проведём касательную $AK$ к описанной окружности треугольника $ABC$ в точке $A$ . По свойству касательной, радиус $AO$ , проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной: $AO \perp AK$ .

2) По условию задачи прямая $BD$ также перпендикулярна прямой $AO$ ( $BD \perp AO$ ). Если две прямые перпендикулярны одной и той же прямой, то они параллельны между собой. Следовательно, $BD \parallel AK$ .

3) Рассмотрим углы при параллельных прямых $BD$ и $AK$ и секущей $AB$ . Угол $KAB$ и угол $ABD$ являются накрест лежащими, значит, $\angle KAB = \angle ABD$ .

4) Угол $KAB$ — это угол между касательной $AK$ и хордой $AB$ . По теореме о угле между касательной и хордой, он равен половине дуги, которую стягивает эта хорда, то есть $\angle KAB = \frac{1}{2} \cup AB$ . В то же время вписанный угол $ACB$ (или $\angle C$ ) также опирается на дугу $AB$ , значит, $\angle ACB = \frac{1}{2} \cup AB$ . Отсюда следует, что $\angle KAB = \angle ACB$ .

5) Из пунктов 3 и 4 получаем: $\angle ABD = \angle ACB$ . Теперь рассмотрим треугольники $ABD$ и $ACB$ . У них:
— угол $A$ общий;
— $\angle ABD = \angle ACB$ (как доказано выше).
Следовательно, треугольники $ABD$ и $ACB$ подобны по двум углам ( $\triangle ABD \sim \triangle ACB$ ).

6) Из подобия треугольников запишем отношение соответствующих сторон:
$\frac{AB}{AC} = \frac{AD}{AB}$ .
Подставим известные значения сторон $AB = 12$ и $AC = 72$ :
$\frac{12}{72} = \frac{AD}{12}$ .
Сократим дробь $\frac{12}{72} = \frac{1}{6}$ , тогда:
$\frac{1}{6} = \frac{AD}{12}$ .
Отсюда $AD = \frac{12 \cdot 1}{6} = 2$ .

7) Отрезок $AC$ состоит из суммы отрезков $AD$ и $CD$ . Чтобы найти $CD$ , нужно из всей стороны $AC$ вычесть найденный отрезок $AD$ :
$CD = AC - AD = 72 - 2 = 70$ .

Ответ: 70

Источник: ФИПИ