Задание №22 — Алгебраические выражения

Решение.

Для построения графика функции $y = x^{2} - 8x - 4|x - 3| + 15$ раскроем модуль по определению. Рассмотрим два случая:

1) Если подмодульное выражение неотрицательно, то есть $x - 3 \ge 0$ (или $x \ge 3$), то $|x - 3| = x - 3$.
Функция принимает вид:
$y = x^{2} - 8x - 4(x - 3) + 15$
$y = x^{2} - 8x - 4x + 12 + 15$
$y = x^{2} - 12x + 27$
Это парабола, ветви которой направлены вверх. Найдем координаты её вершины:
$x_{0} = -\frac{b}{2a} = -\frac{-12}{2 \cdot 1} = 6$
$y_{0} = 6^{2} - 12 \cdot 6 + 27 = 36 - 72 + 27 = -9$
Вершина первой параболы — точка $(6; -9)$. При $x = 3$ значение функции $y = 3^{2} - 12 \cdot 3 + 27 = 9 - 36 + 27 = 0$.

2) Если подмодульное выражение отрицательно, то есть $x - 3 < 0$ (или $x < 3$), то $|x - 3| = -(x - 3) = 3 - x$.
Функция принимает вид:
$y = x^{2} - 8x - 4(3 - x) + 15$
$y = x^{2} - 8x - 12 + 4x + 15$
$y = x^{2} - 4x + 3$
Это также парабола с ветвями вверх. Найдем координаты её вершины:
$x_{0} = -\frac{b}{2a} = -\frac{-4}{2 \cdot 1} = 2$
$y_{0} = 2^{2} - 4 \cdot 2 + 3 = 4 - 8 + 3 = -1$
Вершина второй параболы — точка $(2; -1)$. При $x = 3$ значение функции $y = 3^{2} - 4 \cdot 3 + 3 = 9 - 12 + 3 = 0$.

График функции состоит из двух частей парабол, которые "склеиваются" в точке $(3; 0)$.
Левее $x = 3$ мы видим часть параболы с вершиной $(2; -1)$, правее $x = 3$ — часть параболы с вершиной $(6; -9)$.

Прямая $y = m$ — это горизонтальная линия. Нам нужно найти такие значения $m$, при которых эта линия пересекает построенный график ровно в трёх точках.
Проследим за количеством точек пересечения при изменении $m$:
— При $m < -9$ точек нет.
— При $m = -9$ одна точка (вершина правой параболы).
— При $-9 < m < -1$ две точки.
— При $m = -1$ ровно три точки (вершина левой параболы и две точки на ветвях правой параболы).
— При $-1 < m < 0$ четыре точки.
— При $m = 0$ ровно три точки (точка стыка парабол $(3; 0)$ и две точки на внешних ветвях).
— При $m > 0$ две точки.

Таким образом, ровно три общие точки график и прямая имеют при $m = -1$ и $m = 0$.

Ответ: -1; 0

Источник: ФИПИ