Задание №22 — Алгебраические выражения

Решение.

1. Сначала найдём область определения функции. Знаменатель дроби не может быть равен нулю:
$7x^2 - 6x \neq 0$
Вынесем $x$ за скобки:
$x(7x - 6) \neq 0$
Отсюда $x \neq 0$ и $7x - 6 \neq 0$, то есть $x \neq \frac{6}{7}$.
Область определения: все $x$, кроме $0$ и $\frac{6}{7}$.

2. Упростим выражение функции на её области определения:
$y = \frac{7x - 6}{x(7x - 6)}$
Сократив на $7x - 6$, получим:
$y = \frac{1}{x}$ при $x \neq \frac{6}{7}$ и $x \neq 0$.
Графиком данной функции является гипербола $y = \frac{1}{x}$ с одной "выколотой" точкой. Найдем координаты этой точки:
Если $x = \frac{6}{7}$, то $y = \frac{1}{6/7} = \frac{7}{6}$.
Точка, которую нужно исключить из графика: $A(\frac{6}{7}; \frac{7}{6})$.

3. Теперь рассмотрим прямую $y = kx$. Это прямая, проходящая через начало координат $(0; 0)$. Нам нужно найти такие значения $k$, при которых эта прямая имеет с графиком ровно одну общую точку.

4. Возможны два случая:
Случай А: Прямая $y = kx$ проходит через "выколотую" точку $A(\frac{6}{7}; \frac{7}{6})$.
В этом случае прямая пересекает гиперболу в точке $A$, но так как этой точки на графике нет, пересечения в этой области не будет. Однако нам нужно проверить, нет ли других точек пересечения. Уравнение $kx = \frac{1}{x}$ (или $kx^2 = 1$) при фиксированном $k$ может иметь два корня, один корень или ни одного. Подставим координаты точки $A$ в уравнение прямой:
$\frac{7}{6} = k \cdot \frac{6}{7}$
$k = \frac{7}{6} \cdot \frac{7}{6} = \frac{49}{36}$.
При $k = \frac{49}{36}$ уравнение $\frac{49}{36}x^2 = 1$ дает $x^2 = \frac{36}{49}$, откуда $x = \frac{6}{7}$ (точка выколота) и $x = -\frac{6}{7}$. Значит, при $k = \frac{49}{36}$ график и прямая имеют ровно одну общую точку с абсциссой $x = -\frac{6}{7}$.

Случай Б: Прямая $y = kx$ касается гиперболы $y = \frac{1}{x}$.
Общие точки находятся из уравнения $kx = \frac{1}{x}$, что равносильно $kx^2 = 1$.
Если $k \leq 0$, уравнение не имеет положительных решений для $x^2$ (при $k=0$ решений нет, при $k < 0$ решений нет, так как $x^2 = 1/k$ будет отрицательным).
Если $k > 0$, уравнение $x^2 = \frac{1}{k}$ имеет два корня: $x = \sqrt{\frac{1}{k}}$ и $x = -\sqrt{\frac{1}{k}}$. Это значит, что любая прямая $y = kx$ при $k > 0$ пересекает "полную" гиперболу в двух точках. Чтобы общая точка была ровно одна, одна из этих точек должна совпасть с "выколотой" точкой (это мы уже нашли в случае А), либо корни должны совпасть. Но корни $x = \pm \sqrt{1/k}$ совпадают только если $1/k = 0$, что невозможно.

5. Проверим еще раз: при $k \leq 0$ прямая $y = kx$ вообще не пересекает гиперболу $y = \frac{1}{x}$ (так как $kx^2 = 1$ не имеет корней). Значит, единственное значение $k$, при котором есть ровно одна точка пересечения — это когда прямая проходит через "выколотую" точку, "теряя" одно из двух пересечений.

Ответ: $\frac{49}{36}$

Источник: ФИПИ