Задание 25

Геометрическая задача повышенной сложности · 160 заданий

Задание №25
№25Лёгкое
Окружность пересекает стороны AB и AC треугольника ABC в точках K и P соответственно и проходит через вершины B и C. Найдите длину отрезка KP, если AK…
Окружность и круг
Задание №25
№25Лёгкое
Окружность пересекает стороны AB и AC треугольника ABC в точках K и P соответственно и проходит через вершины B и C. Найдите длину отрезка KP, если AK…
Окружность и круг
Задание №25
№25Лёгкое
Окружность с центром на стороне AC треугольника ABC проходит через вершину C и касается прямой AB в точке B. Найдите AC, если диаметр окружности равен…
Окружность и круг
Задание №25
№25Лёгкое
Окружность пересекает стороны AB и AC треугольника ABC в точках K и P соответственно и проходит через вершины B и C. Найдите длину отрезка KP, если AK…
Треугольник
Задание №25
№25Лёгкое
Окружность пересекает стороны AB и AC треугольника ABC в точках K и P соответственно и проходит через вершины B и C. Найдите длину отрезка KP, если AP…
Треугольник
Задание №25
№25Лёгкое
Окружность пересекает стороны AB и AC треугольника ABC в точках K и P соответственно и проходит через вершины B и C. Найдите длину отрезка KP, если AP…
Треугольник
Задание №25
№25Лёгкое
Окружность пересекает стороны AB и AC треугольника ABC в точках K и P соответственно и проходит через вершины B и C. Найдите длину отрезка KP, если AP…
Окружность и круг
Задание №25
№25Лёгкое
Окружность пересекает стороны AB и AC треугольника ABC в точках K и P соответственно и проходит через вершины B и C. Найдите длину отрезка KP, если AK…
Окружность и круг
Задание №25
№25Лёгкое
Окружность пересекает стороны AB и AC треугольника ABC в точках K и P соответственно и проходит через вершины B и C. Найдите длину отрезка KP, если AP…
Треугольник
Задание №25
№25Сложное
На стороне BC остроугольного треугольника ABC как на диаметре построена полуокружность, пересекающая высоту AD в точке M, AD = 9, MD = 6, H — точка пе…
Окружность и круг
Задание №25
№25Среднее
В трапеции ABCD боковая сторона AB перпендикулярна основанию BC. Окружность проходит через точки C и D и касается прямой AB в точке E. Найдите расстоя…
Окружность и круг
Задание №25
№25Лёгкое
В равнобедренную трапецию, периметр которой равен 200, а площадь равна 2000, можно вписать окружность. Найдите расстояние от точки пересечения диагона…
Многоугольники

Задание №25 — Геометрия

Боковые стороны $A B$ и $C D$ трапеции $A B C D$ равны соответственно 12 и 13,
а основание $B C$ равно 4. Биссектриса угла $A D C$ проходит через середину стороны $A B$ . Найдите площадь трапеции.

Ваше решениедо 2 баллов

Запишите решение задачи...

Решение

Решение.

1) Пусть $M$ — середина боковой стороны $AB$ . По условию $AM = MB = 12 : 2 = 6$ . Проведём через точку $M$ прямую, параллельную основаниям трапеции $BC$ и $AD$ . Пусть эта прямая пересекает боковую сторону $CD$ в точке $K$ . Тогда $MK$ — средняя линия трапеции $ABCD$ .

2) По свойству средней линии $MK \parallel AD$ . Рассмотрим углы при параллельных прямых $MK$ и $AD$ и секущей $DK$ : угол $MDK$ равен углу $KDA$ (так как $DK$ — биссектриса угла $D$ ), а угол $KDA$ равен углу $MKD$ как накрест лежащие. Следовательно, в треугольнике $MKD$ углы при основании $DK$ равны: $\angle MDK = \angle MKD$ .

3) Значит, треугольник $MKD$ — равнобедренный с основанием $DK$ , откуда $MK = MD$ . Но так как $MK$ — средняя линия, точка $K$ является серединой $CD$ , то есть $CK = KD = 13 : 2 = 6,5$ . Таким образом, $MK = 6,5$ .

4) Вспомним формулу средней линии трапеции: $MK = \frac{BC + AD}{2}$ . Подставим известные значения: $6,5 = \frac{4 + AD}{2}$ . Отсюда $13 = 4 + AD$ , то есть нижнее основание $AD = 9$ .

5) Для нахождения площади трапеции нам нужна её высота $h$ . Проведём из вершины $C$ высоту $CH$ , а из вершины $B$ высоту $BE$ . Пусть $AE = x$ , тогда $HD = AD - AE - EH = 9 - x - 4 = 5 - x$ . По теореме Пифагора из треугольника $ABE$ : $h^2 = AB^2 - AE^2 = 12^2 - x^2$ . Из треугольника $CDH$ : $h^2 = CD^2 - HD^2 = 13^2 - (5 - x)^2$ .

6) Приравняем выражения для $h^2$ : $144 - x^2 = 169 - (25 - 10x + x^2)$ $144 - x^2 = 169 - 25 + 10x - x^2$ $144 = 144 + 10x$ Отсюда $10x = 0$ , значит $x = 0$ . Это означает, что сторона $AB$ перпендикулярна основаниям, и трапеция является прямоугольной. Тогда высота $h = AB = 12$ .

7) Вычислим площадь трапеции по формуле $S = \frac{BC + AD}{2} \cdot h$ : $S = \frac{4 + 9}{2} \cdot 12 = 6,5 \cdot 12 = 78$ .

Ответ: 78

Источник: ФИПИ