Задание №25 — Геометрия

Решение.

1) Пусть $M$ — середина боковой стороны $AB$. По условию $AM = MB = 12 : 2 = 6$. Проведём через точку $M$ прямую, параллельную основаниям трапеции $BC$ и $AD$. Пусть эта прямая пересекает боковую сторону $CD$ в точке $K$. Тогда $MK$ — средняя линия трапеции $ABCD$.

2) По свойству средней линии $MK \parallel AD$. Рассмотрим углы при параллельных прямых $MK$ и $AD$ и секущей $DK$: угол $MDK$ равен углу $KDA$ (так как $DK$ — биссектриса угла $D$), а угол $KDA$ равен углу $MKD$ как накрест лежащие. Следовательно, в треугольнике $MKD$ углы при основании $DK$ равны: $\angle MDK = \angle MKD$.

3) Значит, треугольник $MKD$ — равнобедренный с основанием $DK$, откуда $MK = MD$. Но так как $MK$ — средняя линия, точка $K$ является серединой $CD$, то есть $CK = KD = 13 : 2 = 6,5$. Таким образом, $MK = 6,5$.

4) Вспомним формулу средней линии трапеции: $MK = \frac{BC + AD}{2}$. Подставим известные значения: $6,5 = \frac{4 + AD}{2}$. Отсюда $13 = 4 + AD$, то есть нижнее основание $AD = 9$.

5) Для нахождения площади трапеции нам нужна её высота $h$. Проведём из вершины $C$ высоту $CH$, а из вершины $B$ высоту $BE$. Пусть $AE = x$, тогда $HD = AD - AE - EH = 9 - x - 4 = 5 - x$. По теореме Пифагора из треугольника $ABE$: $h^2 = AB^2 - AE^2 = 12^2 - x^2$. Из треугольника $CDH$: $h^2 = CD^2 - HD^2 = 13^2 - (5 - x)^2$.

6) Приравняем выражения для $h^2$: $144 - x^2 = 169 - (25 - 10x + x^2)$ $144 - x^2 = 169 - 25 + 10x - x^2$ $144 = 144 + 10x$ Отсюда $10x = 0$, значит $x = 0$. Это означает, что сторона $AB$ перпендикулярна основаниям, и трапеция является прямоугольной. Тогда высота $h = AB = 12$.

7) Вычислим площадь трапеции по формуле $S = \frac{BC + AD}{2} \cdot h$: $S = \frac{4 + 9}{2} \cdot 12 = 6,5 \cdot 12 = 78$.

Ответ: 78

Источник: ФИПИ