Задание №22 — Алгебраические выражения

Решение.

1. Область определения функции.
Функция определена, когда знаменатель не равен нулю:
$x - 1 \neq 0 \Rightarrow x \neq 1$.
Это значит, что на графике точка с абсциссой $x = 1$ будет «выколотой».

2. Упрощение выражения.
Вынесем общий множитель $0,75x$ в числителе:
$y = \frac{0,75x(x - 1) \cdot |x|}{x - 1}$.
При $x \neq 1$ мы можем сократить дробь на $(x - 1)$:
$y = 0,75x \cdot |x|$.

3. Раскрытие модуля.
Рассмотрим два случая в зависимости от знака $x$:
а) Если $x \geq 0$ (и учитывая $x \neq 1$), то $|x| = x$:
$y = 0,75x \cdot x = 0,75x^2$.
Это ветвь параболы, направленная вверх.
б) Если $x < 0$, то $|x| = -x$:
$y = 0,75x \cdot (-x) = -0,75x^2$.
Это ветвь параболы, направленная вниз.

4. Координаты «выколотой» точки.
Так как $x \neq 1$, подставим $x = 1$ в упрощенное уравнение для первой ветви:
$y = 0,75 \cdot 1^2 = 0,75$.
Точка с координатами $(1; 0,75)$ не принадлежит графику.

5. Построение графика.
График представляет собой «склейку» двух парабол в начале координат $(0; 0)$. При $x > 0$ график идет вверх, при $x < 0$ — вниз. Точка $(1; 0,75)$ исключена.

6. Анализ прямой $y = m$.
Прямая $y = m$ — это горизонтальная линия. Она не будет иметь с графиком общих точек в двух случаях:
1) Если она проходит через «выколотую» точку. Это происходит при $m = 0,75$.
2) В данной задаче других разрывов или ограничений по $y$ нет, так как функция $y = 0,75x|x|$ принимает все значения от $-\infty$ до $+\infty$, кроме значения в выколотой точке.

Заметим, что $0,75 = \frac{3}{4}$.

Ответ: 0,75

Источник: ФИПИ