Задание №25 — Геометрия

Решение.

1) Пусть $K$ — точка пересечения продолжений боковых сторон $AB$ и $CD$ трапеции. Рассмотрим треугольник $AKD$. По условию сумма углов при основании $AD$ равна $90^\circ$, то есть $\angle A + \angle D = 90^\circ$. Следовательно, третий угол треугольника $\angle AKD = 180^\circ - (\angle A + \angle D) = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$. Таким образом, треугольник $AKD$ — прямоугольный.

2) Так как $BC \parallel AD$, треугольники $BKC$ и $AKD$ подобны по двум углам. Из подобия следует отношение сторон: $\frac{BK}{AK} = \frac{BC}{AD}$. Пусть $BK = x$, тогда $AK = x + AB = x + 12$. Подставим известные значения оснований: $\frac{x}{x + 12} = \frac{14}{34}$. Сократим дробь справа: $\frac{x}{x + 12} = \frac{7}{17}$.

3) Решим уравнение: $17x = 7(x + 12)$, откуда $17x = 7x + 84$, $10x = 84$, $x = 8,4$. Значит, $BK = 8,4$, а $AK = 8,4 + 12 = 20,4$.

4) Пусть окружность проходит через точки $A$ и $B$ и касается прямой $CD$ в точке $T$. По свойству касательной и секущей, проведённых из одной точки ($K$) к окружности: квадрат отрезка касательной равен произведению секущей на её внешнюю часть. В нашем случае: $KT^2 = KA \cdot KB$. Подставим значения: $KT^2 = 20,4 \cdot 8,4 = \frac{204}{10} \cdot \frac{84}{10} = \frac{17136}{100} = 171,36$.

5) Введём систему координат или воспользуемся геометрическим местом точек. Центр окружности $O$ лежит на серединном перпендикуляре к хорде $AB$. Пусть $M$ — середина $AB$. Тогда $KM = KB + BM = 8,4 + \frac{12}{2} = 8,4 + 6 = 14,4$. Расстояние от центра $O$ до прямой $AK$ равно радиусу $R$, если смотреть относительно точки касания, но удобнее рассмотреть прямоугольник. Проведём из $O$ перпендикуляр $OH$ к прямой $CD$. Тогда $OH = R$.

6) Заметим, что в прямоугольном треугольнике $AKD$ прямые $AK$ и $KD$ перпендикулярны. Пусть $R$ — радиус окружности. Центр $O$ имеет координаты в осях $KA$ (ось $y$) и $KD$ (ось $x$). Координата $y$ центра $O$ равна $KM = 14,4$. Координата $x$ центра $O$ равна $R$, так как окружность касается оси $x$ (прямой $KD$) в точке $T$, и радиус $OT \perp KD$. Тогда $KT$ — это и есть координата $x$ центра $O$, то есть $KT = \sqrt{171,36}$.

7) Расстояние от центра $O(KT; KM)$ до точки $A(0; 20,4)$ равно радиусу $R$. По формуле расстояния между точками: $R^2 = (KT - 0)^2 + (KM - 20,4)^2$. Подставим значения: $R^2 = KT^2 + (14,4 - 20,4)^2 = 171,36 + (-6)^2 = 171,36 + 36 = 207,36$.

8) Найдём $R = \sqrt{207,36}$. Так как $144^2 = 20736$, то $R = 14,4$.

Ответ: 14,4

Источник: ФИПИ