Задание №25 — Геометрия

Решение.

1. По условию точка $M$ является серединой стороны $AD$ и равноудалена от всех вершин четырёхугольника. Это означает, что $MA = MB = MC = MD$.
Так как расстояния от точки $M$ до всех вершин равны, точка $M$ является центром описанной около четырёхугольника $ABCD$ окружности, а отрезки $MA, MB, MC, MD$ являются её радиусами ($R$).

2. Поскольку $M$ лежит на стороне $AD$, то отрезок $AD$ является диаметром этой окружности, так как он состоит из двух радиусов: $AD = AM + MD = R + R = 2R$.
Следовательно, четырёхугольник $ABCD$ вписан в окружность.

3. Рассмотрим треугольники $AMB$ и $DMC$. Они являются равнобедренными, так как $MA = MB = R$ и $MD = MC = R$.
Пусть $\angle BAM = \alpha$, тогда $\angle ABM = \alpha$.
Пусть $\angle CDM = \beta$, тогда $\angle DCM = \beta$.

4. Рассмотрим треугольник $BMC$. Он также равнобедренный ($MB = MC = R$). Пусть $\angle MBC = \angle MCB = \gamma$.
Тогда углы четырёхугольника $B$ и $C$ можно выразить следующим образом:
$\angle B = \angle ABM + \angle MBC = \alpha + \gamma = 116^\circ$
$\angle C = \angle DCM + \angle MCB = \beta + \gamma = 94^\circ$

5. Сумма углов, прилежащих к стороне $AD$ вписанного четырёхугольника, связана с его свойствами. Так как $AD$ — диаметр, то углы $\angle ABD$ и $\angle ACD$ прямые (опираются на диаметр), но нам удобнее воспользоваться суммой углов четырёхугольника. Сумма углов $A + B + C + D = 360^\circ$.
Подставим известные значения: $\alpha + 116^\circ + 94^\circ + \beta = 360^\circ$.
Отсюда $\alpha + \beta = 360^\circ - 210^\circ = 150^\circ$.

6. Теперь найдем угол $\gamma$. Сложим уравнения из шага 4:
$(\alpha + \gamma) + (\beta + \gamma) = 116^\circ + 94^\circ$
$\alpha + \beta + 2\gamma = 210^\circ$
Подставим $\alpha + \beta = 150^\circ$:
$150^\circ + 2\gamma = 210^\circ$
$2\gamma = 60^\circ$
$\gamma = 30^\circ$.

7. Рассмотрим треугольник $BMC$. Мы знаем, что он равнобедренный с боковыми сторонами $R$ и углом при основании $\gamma = 30^\circ$. Угол при вершине $M$ равен:
$\angle BMC = 180^\circ - 2\gamma = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$.

8. По теореме косинусов для треугольника $BMC$:
$BC^2 = MB^2 + MC^2 - 2 \cdot MB \cdot MC \cdot \cos(120^\circ)$
$9^2 = R^2 + R^2 - 2 \cdot R^2 \cdot (-0,5)$
$81 = 2R^2 + R^2$
$81 = 3R^2$
$R^2 = 27$
$R = \sqrt{27} = 3\sqrt{3}$.

9. Сторона $AD$ является диаметром окружности:
$AD = 2R = 2 \cdot 3\sqrt{3} = 6\sqrt{3}$.

Ответ: $6\sqrt{3}$

Источник: ФИПИ