Задание №25 — Геометрия

Решение.

1. По условию точка $M$ является серединой стороны $AD$ и равноудалена от всех вершин четырёхугольника. Это означает, что $MA = MB = MC = MD$.

2. Так как точка $M$ равноудалена от всех вершин, она является центром окружности, описанной около данного четырёхугольника. Отрезки $MA$, $MB$, $MC$ и $MD$ являются радиусами этой окружности. Обозначим радиус через $R$. Тогда $AD = AM + MD = R + R = 2R$. Таким образом, сторона $AD$ является диаметром этой окружности.

3. Рассмотрим треугольники $AMB$, $BMC$ и $CMD$. Все они являются равнобедренными, так как их боковые стороны равны радиусу $R$. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Обозначим:
- в $\triangle AMB$: $\angle MAB = \angle MBA = \alpha$;
- в $\triangle BMC$: $\angle MBC = \angle MCB = \beta$;
- в $\triangle CMD$: $\angle MCD = \angle MDC = \gamma$.

4. Выразим углы $B$ и $C$ четырёхугольника через введённые переменные:
$\angle B = \angle MBA + \angle MBC = \alpha + \beta = 132^{\circ}$;
$\angle C = \angle MCB + \angle MCD = \beta + \gamma = 93^{\circ}$.

5. Сумма углов выпуклого четырёхугольника $ABCD$ равна $360^{\circ}$. Запишем это уравнение:
$\angle A + \angle B + \angle C + \angle D = 360^{\circ}$
$\alpha + 132^{\circ} + 93^{\circ} + \gamma = 360^{\circ}$
$\alpha + \gamma + 225^{\circ} = 360^{\circ}$
$\alpha + \gamma = 360^{\circ} - 225^{\circ} = 135^{\circ}$.

6. Теперь у нас есть система уравнений:
1) $\alpha + \beta = 132^{\circ}$
2) $\beta + \gamma = 93^{\circ}$
3) $\alpha + \gamma = 135^{\circ}$
Сложим первое и второе уравнения: $\alpha + 2\beta + \gamma = 132^{\circ} + 93^{\circ} = 225^{\circ}$.
Подставим в это выражение значение $\alpha + \gamma = 135^{\circ}$:
$135^{\circ} + 2\beta = 225^{\circ}$
$2\beta = 225^{\circ} - 135^{\circ} = 90^{\circ}$
$\beta = 45^{\circ}$.

7. Рассмотрим треугольник $BMC$. Мы нашли, что $\angle MBC = \angle MCB = \beta = 45^{\circ}$.
Тогда угол при вершине $M$ равен: $\angle BMC = 180^{\circ} - (\beta + \beta) = 180^{\circ} - 90^{\circ} = 90^{\circ}$.
Следовательно, $\triangle BMC$ — прямоугольный равнобедренный треугольник с гипотенузой $BC = 18$.

8. По теореме Пифагора для $\triangle BMC$:
$MB^2 + MC^2 = BC^2$
$R^2 + R^2 = 18^2$
$2R^2 = 324$
$R^2 = 162$
$R = \sqrt{162} = \sqrt{81 \cdot 2} = 9\sqrt{2}$.

9. Найдём длину стороны $AD$:
$AD = 2R = 2 \cdot 9\sqrt{2} = 18\sqrt{2}$.

Ответ: $18\sqrt{2}$

Источник: ФИПИ