Задание №22 — Алгебраические выражения

Решение.

Область определения: $x \neq 0$ (иначе $\frac{6}{x}$ не определено). Заметим полезное тождество $\frac12\left(|a-b|+a+b\right)=\max(a;b)$, поэтому $y=\max\left(\frac{x}{6};\frac{6}{x}\right)$.

Раскроем модуль. Подмодульное выражение $\frac{x}{6}-\frac{6}{x}=\frac{x^2-36}{6x}=\frac{(x-6)(x+6)}{6x}$. Методом интервалов (точки $-6,\ 0,\ 6$) получаем, что оно неотрицательно при $x\in[-6;0)\cup[6;+\infty)$ и отрицательно при $x\in(-\infty;-6)\cup(0;6)$.

Случай 1. Если $\frac{x}{6}-\frac{6}{x}\ge 0$, то $\left|\frac{x}{6}-\frac{6}{x}\right|=\frac{x}{6}-\frac{6}{x}$, и$<br> y=\frac12\left(\frac{x}{6}-\frac{6}{x}+\frac{x}{6}+\frac{6}{x}\right)=\frac{x}{6}$.
Случай 2. Если $\frac{x}{6}-\frac{6}{x}<0$, то $\left|\frac{x}{6}-\frac{6}{x}\right|=\frac{6}{x}-\frac{x}{6}$, и
$y=\frac12\left(\frac{6}{x}-\frac{x}{6}+\frac{x}{6}+\frac{6}{x}\right)=\frac{6}{x}$.

Итак, функция задаётся кусочно:
$y=\frac{6}{x}$, если $x<-6$;
$y=\frac{x}{6}$, если $-6\le x<0$;
$y=\frac{6}{x}$, если 0 \(y=\frac{x}{6}, если $x\ge 6$.

Опишем график по кускам:
— при $x<-6$: часть гиперболы $y=\frac{6}{x}$; при $x=-6$ значение $-1$ (сама точка относится к следующему куску), при $x\to-\infty$ значение $\to 0^-$. Значит здесь $y\in(-1;0)$.
— при $-6\le x<0$: отрезок прямой $y=\frac{x}{6}$; при $x=-6$ значение $-1$ (входит), при $x\to 0^-$ значение $\to 0^-$. Значит $y\in[-1;0)$.
— при 0 — при \(x\ge 6: часть прямой $y=\frac{x}{6}$; при $x=6$ значение $1$ (входит), далее растёт. Значит $y\in[1;+\infty)$.

Таким образом, весь график лежит в объединении множеств значений $y\in[-1;0)\cup[1;+\infty)$. Ниже уровня $-1$ график не опускается, а на интервале $[0;1)$ значений нет. Наименьшее значение «левой» части равно $-1$ и достигается только в точке стыка $(-6;-1)$; наименьшее значение «правой» части равно $1$ и достигается только в точке стыка $(6;1)$.

Подсчитаем число общих точек с прямой $y=m$:
— при $m<-1$: общих точек нет;
— при $m=-1$: ровно одна точка — стык $(-6;-1)$;
— при -1 — при \(0\le m<1: общих точек нет;
— при $m=1$: ровно одна точка — стык $(6;1)$;
— при $m>1$: две точки (на гиперболе при $06$).

Следовательно, ровно одна общая точка получается при $m=-1$ и при $m=1$.

Ответ: -1; 1