Задание №25 — Геометрия

Решение.

1) Пусть $ABCD$ — данная трапеция с основаниями $BC$ и $AD$. По условию углы при основании $AD$ равны $\angle A = 18^{\circ}$ и $\angle D = 72^{\circ}$. Заметим, что сумма этих углов равна $18^{\circ} + 72^{\circ} = 90^{\circ}$.

2) Отрезки, соединяющие середины противоположных сторон, — это средняя линия трапеции (соединяет середины боковых сторон) и отрезок, соединяющий середины оснований. Обозначим середину $BC$ как $M$, а середину $AD$ как $N$. Отрезок $MN$ соединяет середины оснований. Средняя линия трапеции равна полусумме оснований: $L = \frac{AD + BC}{2}$. По условию задачи даны два отрезка: 15 и 4. Средняя линия всегда больше отрезка, соединяющего середины оснований (в случае, если углы при основании не прямые), поэтому $\frac{AD + BC}{2} = 15$, а $MN = 4$.

3) Продлим боковые стороны $AB$ и $CD$ до их пересечения в точке $K$. Рассмотрим треугольник $AKD$. Сумма углов треугольника равна $180^{\circ}$, значит, $\angle K = 180^{\circ} - (\angle A + \angle D) = 180^{\circ} - 90^{\circ} = 90^{\circ}$. Таким образом, треугольник $AKD$ — прямоугольный.

4) Так как $BC \parallel AD$, треугольник $BKC$ также является прямоугольным ($\angle K = 90^{\circ}$) и подобен треугольнику $AKD$. Точки $K$, $M$ и $N$ лежат на одной прямой, так как медиана, проведенная из вершины прямого угла, проходит через середины всех отрезков, параллельных основанию. Значит, $KM$ — медиана в $\triangle BKC$, а $KN$ — медиана в $\triangle AKD$.

5) В прямоугольном треугольнике медиана, проведенная к гипотенузе, равна её половине. Следовательно:
$KM = \frac{BC}{2}$
$KN = \frac{AD}{2}$

6) Отрезок $MN$ можно выразить как разность медиан: $MN = KN - KM$. Подставим значения:
$4 = \frac{AD}{2} - \frac{BC}{2}$
$4 = \frac{AD - BC}{2}$, откуда $AD - BC = 8$.

7) Из формулы средней линии имеем:
$\frac{AD + BC}{2} = 15$, откуда $AD + BC = 30$.

8) Решим систему уравнений:
$\begin{cases} AD + BC = 30 \\ AD - BC = 8 \end{cases}$
Сложим уравнения: $2 \cdot AD = 38 \Rightarrow AD = 19$.
Вычтем из первого уравнения второе: $2 \cdot BC = 22 \Rightarrow BC = 11$.

Ответ: 11; 19

Источник: ФИПИ