Задание №22 — Алгебраические выражения

Решение.

Для построения графика функции $y = x^{2} + 11x - 4|x + 6| + 30$ необходимо раскрыть модуль по определению. Рассмотрим два случая:

1) Если подмодульное выражение неотрицательно, то есть $x + 6 \geq 0$ (или $x \geq -6$), то модуль раскрывается с тем же знаком:
$y = x^{2} + 11x - 4(x + 6) + 30$
$y = x^{2} + 11x - 4x - 24 + 30$
$y = x^{2} + 7x + 6$

2) Если подмодульное выражение отрицательно, то есть $x + 6 < 0$ (или $x < -6$), то модуль раскрывается с противоположным знаком:
$y = x^{2} + 11x - 4(-(x + 6)) + 30$
$y = x^{2} + 11x + 4x + 24 + 30$
$y = x^{2} + 15x + 54$

Таким образом, функция задаётся кусочно:
$y = \begin{cases} x^{2} + 7x + 6, \text{ если } x \geq -6 \\ x^{2} + 15x + 54, \text{ если } x < -6 \end{cases}$

Обе части графика представляют собой параболы, ветви которых направлены вверх. Найдем координаты их вершин:
Для первой параболы ($x \geq -6$):
$x_{0} = -\frac{b}{2a} = -\frac{7}{2} = -3,5$
$y_{0} = (-3,5)^{2} + 7 \cdot (-3,5) + 6 = 12,25 - 24,5 + 6 = -6,25$
Точка стыка при $x = -6$: $y(-6) = (-6)^{2} + 7 \cdot (-6) + 6 = 36 - 42 + 6 = 0$.

Для второй параболы ($x < -6$):
$x_{0} = -\frac{15}{2} = -7,5$
$y_{0} = (-7,5)^{2} + 15 \cdot (-7,5) + 54 = 56,25 - 112,5 + 54 = -2,25$
Точка стыка при $x = -6$: $y(-6) = (-6)^{2} + 15 \cdot (-6) + 54 = 36 - 90 + 54 = 0$.

График состоит из части левой параболы (до $x = -6$) и части правой параболы (после $x = -6$). Они соединяются в точке $(-6; 0)$.
Прямая $y = m$ — это горизонтальная линия. Она имеет с графиком ровно три общие точки в двух случаях:
1) Когда прямая проходит через вершину одной из парабол, а ветви другой параболы пересекает в двух точках.
2) Когда прямая проходит через точку "стыка" графиков, если эта точка не является вершиной.

Проверим уровни вершин и точки стыка:
- Уровень вершины левой параболы: $m = -2,25$. В этой точке прямая касается левой параболы (1 точка) и пересекает две ветви правой параболы (еще 2 точки). Итого 3 точки.
- Уровень точки стыка: $m = 0$. В этой точке прямая проходит через общую точку парабол и пересекает по одной "внешней" ветви каждой параболы. Итого 3 точки.
- Уровень вершины правой параболы: $m = -6,25$. В этой точке прямая касается правой параболы (1 точка), но левая парабола при $x < -6$ находится выше этого уровня и не пересекается. Итого 1 точка.

Следовательно, условию задачи удовлетворяют значения $m = -2,25$ и $m = 0$.

Ответ: -2,25; 0

Источник: ФИПИ