Задание №25 — Геометрия

Решение.

1. По условию точка $M$ является серединой стороны $AD$ и равноудалена от всех вершин четырёхугольника $ABCD$. Это означает, что $MA = MB = MC = MD$.

2. Так как точка $M$ равноудалена от всех вершин, она является центром окружности, описанной около данного четырёхугольника. При этом отрезки $MA$, $MB$, $MC$ и $MD$ являются радиусами этой окружности ($R$).

3. Поскольку $M$ лежит на стороне $AD$ и $MA = MD$, то отрезок $AD$ является диаметром этой окружности. Следовательно, $AD = 2R$.

4. Рассмотрим треугольники $AMB$, $BMC$ и $CMD$. Все они являются равнобедренными, так как их боковые стороны равны радиусу $R$. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Обозначим:
- в $\triangle AMB$: $\angle MAB = \angle MBA = \alpha$;
- в $\triangle BMC$: $\angle MBC = \angle MCB = \beta$;
- в $\triangle CMD$: $\angle MCD = \angle MDC = \gamma$.

5. По условию задачи углы четырёхугольника равны: $\angle B = 129^\circ$ и $\angle C = 96^\circ$. Выразим их через введённые углы:
$\angle B = \angle MBA + \angle MBC = \alpha + \beta = 129^\circ$;
$\angle C = \angle MCB + \angle MCD = \beta + \gamma = 96^\circ$.

6. Сумма углов любого выпуклого четырёхугольника равна $360^\circ$. Запишем это уравнение для $ABCD$:
$\angle A + \angle B + \angle C + \angle D = 360^\circ$.
Подставим известные значения и выражения через $\alpha$ и $\gamma$:
$\alpha + 129^\circ + 96^\circ + \gamma = 360^\circ$;
$\alpha + \gamma = 360^\circ - 225^\circ$;
$\alpha + \gamma = 135^\circ$.

7. Теперь у нас есть система уравнений:
1) $\alpha + \beta = 129^\circ$;
2) $\beta + \gamma = 96^\circ$;
3) $\alpha + \gamma = 135^\circ$.
Сложим первое и второе уравнения: $\alpha + 2\beta + \gamma = 129^\circ + 96^\circ = 225^\circ$.
Подставим сюда значение $\alpha + \gamma = 135^\circ$:
$135^\circ + 2\beta = 225^\circ$;
$2\beta = 90^\circ$;
$\beta = 45^\circ$.

8. Рассмотрим треугольник $BMC$. Мы нашли, что $\angle MBC = \angle MCB = \beta = 45^\circ$. Тогда угол при вершине $M$ равен:
$\angle BMC = 180^\circ - (\beta + \beta) = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$.
Значит, $\triangle BMC$ — прямоугольный равнобедренный треугольник с гипотенузой $BC = 8$.

9. По теореме Пифагора для $\triangle BMC$:
$MB^2 + MC^2 = BC^2$;
$R^2 + R^2 = 8^2$;
$2R^2 = 64$;
$R^2 = 32$;
$R = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}$.

10. Найдём длину стороны $AD$, которая является диаметром:
$AD = 2R = 2 \cdot 4\sqrt{2} = 8\sqrt{2}$.

Ответ: $8\sqrt{2}$

Источник: ФИПИ