Задание №3 — Уравнения и неравенства

#52509Задание №3ФИПИ

Практическая задача

Дима летом отдыхает у дедушки в деревне Васильевка. Во вторник они собираются съездить на велосипедах в село Плодородное на ярмарку.
Из деревни Васильевка в село Плодородное можно проехать по прямой лесной дорожке. Есть более длинный путь: по прямолинейному шоссе через деревню Шарковка до деревни Рассвет, где нужно повернуть под прямым углом направо на другое шоссе, ведущее в село Плодородное. Есть и третий маршрут: в деревне Шарковка можно свернуть на прямую тропинку в село Плодородное, которая идёт мимо пруда.

Лесная дорожка и тропинка образуют с шоссе прямоугольные треугольники.

По шоссе Дима с дедушкой едут со скоростью 25 км/ч, а по лесной дорожке и тропинке $—$ со скоростью 18 км/ч. На плане изображено взаимное расположение населённых пунктов, длина стороны каждой клетки равна 3 км.

Сколько минут затратят на дорогу из деревни Васильевка в село Плодородное Дима с дедушкой, если они поедут по прямой лесной дорожке?

Правильный ответ

150

Пояснение

Решение. Для решения задачи нам необходимо определить расстояние между деревней Васильевка и селом Плодородное по лесной дорожке, а затем вычислить время в пути.

1. Определим расположение населённых пунктов на плане.
Из условия следует, что путь по шоссе идёт через Шарковку до Рассвета, где нужно повернуть под прямым углом направо. На плане прямой угол образуется в точке 4. Значит, точка 4 — это деревня Рассвет. Путь начинается в Васильевке (точка 2), проходит через Шарковку (точка 3) и заканчивается в селе Плодородное (точка 1).
Таким образом:
- Точка 2 — Васильевка;
- Точка 1 — Плодородное;
- Прямая лесная дорожка соединяет точки 2 и 1.

2. Найдём расстояние между Васильевкой (2) и Плодородным (1).
Лесная дорожка является гипотенузой прямоугольного треугольника с вершинами в точках 2, 4 и 1. Катетами этого треугольника являются отрезки шоссе:
- Катет $2-4$ (от Васильевки до Рассвета) равен $9$ клеткам.
- Катет $4-1$ (от Рассвета до Плодородного) равен $12$ клеткам.
По условию, сторона одной клетки равна $3$ км. Найдём длины катетов в километрах:
$AC = 9 \cdot 3 = 27$ км;
$BC = 12 \cdot 3 = 36$ км.

3. Вычислим длину лесной дорожки по теореме Пифагора:
$S = \sqrt{27^2 + 36^2} = \sqrt{729 + 1296} = \sqrt{2025} = 45$ км.

4. Вычислим время в пути.
Скорость движения по лесной дорожке составляет $v = 18$ км/ч. Время находится по формуле $t = \frac{S}{v}$ :
$t = \frac{45}{18}$ часа.
Сократим дробь на $9$ :
$t = \frac{5}{2} = 2,5$ часа.

5. Переведём время из часов в минуты.
Так как в одном часе $60$ минут:
$t = 2,5 \cdot 60 = 150$ минут.

Ответ: 150

Источник: ФИПИ