Вариант 1 · Июль 2026

Решение.

Для того чтобы найти значение выражения $5,7 - 7,6$, нужно из меньшего положительного числа вычесть большее. В математике это делается по следующему правилу:

1. Сравним модули (абсолютные величины) чисел. Мы видим, что $|7,6| > |5,7|$.
2. Так как мы вычитаем из меньшего числа большее, результат будет отрицательным. Поставим знак «минус» перед скобкой.
3. В скобках из большего модуля вычтем меньший: $-(7,6 - 5,7)$.

Выполним вычитание в столбик или устно:
$7,6 - 5,7 = 1,9$

Не забываем про знак «минус», который мы определили на втором шаге. Получаем $-1,9$.

Ответ: -1,9

Источник: ФИПИ

Решение.

Чтобы определить, какой точке соответствует число $-0,031$, нам нужно расположить все данные числа в порядке возрастания (слева направо, как они идут на координатной прямой).

1) Выпишем все числа: $0,1032$; $-0,031$; $-0,01$; $-0,104$.

2) Сначала определим самое большое число. Среди них только одно положительное — это $0,1032$. На координатной прямой оно будет находиться правее всех остальных. Значит, точке $D$ соответствует число $0,1032$.

3) Теперь сравним отрицательные числа: $-0,031$, $-0,01$ и $-0,104$.
Чтобы их было удобнее сравнивать, уравняем количество знаков после запятой, добавив нули:
$-0,031$
$-0,010$
$-0,104$

4) Вспомним правило: из двух отрицательных чисел меньше то, модуль которого больше (то есть то, которое находится дальше от нуля влево).
Сравним их модули: $0,104 > 0,031 > 0,010$.
Следовательно, в порядке возрастания эти числа располагаются так:
$-0,104 < -0,031 < -0,010$.

5) Сопоставим числа с точками на рисунке (слева направо):
Точка $A$ — самое маленькое число: $-0,104$.
Точка $B$ — следующее за ним: $-0,031$.
Точка $C$ — большее из отрицательных: $-0,01$.
Точка $D$ — положительное число: $0,1032$.

Таким образом, числу $-0,031$ соответствует точка $B$. В списке вариантов ответа точка $B$ указана под номером 2.

Ответ: 2

Источник: ФИПИ

Решение.

Для того чтобы найти значение данного выражения, удобнее всего привести все числа к одному основанию — числу $2$.

1. Сначала представим число $32$, стоящее в знаменателе, в виде степени с основанием $2$.
Вспомним степени двойки:
$2^{1} = 2$
$2^{2} = 4$
$2^{3} = 8$
$2^{4} = 16$
$2^{5} = 32$
Следовательно, $32 = 2^{5}$.

2. Теперь подставим полученное значение в исходное выражение:
$\frac{2^{7}}{32} = \frac{2^{7}}{2^{5}}$

3. Воспользуемся свойством степеней с одинаковыми основаниями: при делении степеней показатели вычитаются ($\frac{a^{m}}{a^{n}} = a^{m-n}$).
Получаем:
$\frac{2^{7}}{2^{5}} = 2^{7-5} = 2^{2}$

4. Вычислим итоговое значение:
$2^{2} = 2 \cdot 2 = 4$

Ответ: 4

Источник: ФИПИ

Решение.

Для решения уравнения $x^{2} - 36 = 0$ воспользуемся методом разложения на множители или методом извлечения корня.

Способ 1: Разложение на множители.
Заметим, что в левой части уравнения стоит разность квадратов, так как $36 = 6^{2}$. Применим формулу $a^{2} - b^{2} = (a - b)(a + b)$:
$(x - 6)(x + 6) = 0$

Произведение двух множителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из них равен нулю. Приравняем каждый множитель к нулю:
1) $x - 6 = 0$, откуда $x_{1} = 6$;
2) $x + 6 = 0$, откуда $x_{2} = -6$.

Способ 2: Извлечение корня.
Перенесём число $36$ в правую часть уравнения, сменив знак на противоположный:
$x^{2} = 36$
Корнями данного уравнения являются числа, квадрат которых равен $36$:
$x = \pm\sqrt{36}$
$x_{1} = 6$, $x_{2} = -6$.

Уравнение имеет два корня: $-6$ и $6$. По условию задачи в ответ необходимо записать больший из корней. Сравним полученные числа: $6 > -6$.

Ответ: 6

Источник: ФИПИ

Решение.

Для решения задачи воспользуемся классическим определением вероятности: вероятность события равна отношению количества благоприятных исходов к общему количеству возможных исходов.

1. Сначала найдём общее количество маркеров, которые лежат в лотке. Для этого сложим количество чёрных и синих маркеров:
$18 + 22 = 40$ (маркеров всего).

2. Нам нужно найти вероятность того, что выбранный маркер окажется синим. Количество благоприятных исходов в данном случае равно количеству синих маркеров, то есть $22$.

3. Вычислим вероятность $P$, разделив число синих маркеров на общее число маркеров:
$P = \frac{22}{40}$

4. Сократим дробь на $2$:
$P = \frac{11}{20}$

5. Чтобы перевести обыкновенную дробь в десятичную, умножим и числитель, и знаменатель на $5$:
$P = \frac{11 \cdot 5}{20 \cdot 5} = \frac{55}{100} = 0{,}55$

Ответ: 0,55

Источник: ФИПИ

Решение. Для решения этой задачи вспомним, за что отвечают коэффициенты $a$ и $c$ в уравнении квадратичной функции $y = ax^{2} + bx + c$.

1) Коэффициент $a$ определяет направление ветвей параболы:
— Если $a > 0$, то ветви параболы направлены вверх.
— Если $a < 0$, то ветви параболы направлены вниз.

2) Коэффициент $c$ — это ордината точки пересечения параболы с осью $Oy$ (так как при $x = 0$ получаем $y = c$):
— Если парабола пересекает ось $Oy$ выше оси $Ox$, то $c > 0$.
— Если парабола пересекает ось $Oy$ ниже оси $Ox$, то $c < 0$.

Проанализируем каждый график:

График А: Ветви параболы направлены вверх, значит $a > 0$. Парабола пересекает ось $Oy$ ниже оси $Ox$, значит $c < 0$. Это соответствует варианту 2.

График Б: Ветви параболы направлены вниз, значит $a < 0$. Парабола пересекает ось $Oy$ выше оси $Ox$, значит $c > 0$. Это соответствует варианту 3.

График В: Ветви параболы направлены вверх, значит $a > 0$. Парабола пересекает ось $Oy$ выше оси $Ox$, значит $c > 0$. Это соответствует варианту 1.

Занесём результаты в таблицу соответствия: А — 2, Б — 3, В — 1.

Ответ: 231

Источник: ФИПИ

Решение.

Для решения задачи воспользуемся формулой мощности постоянного тока: $P = I^{2} R$.

1. Выпишем значения величин, которые нам даны по условию:
Мощность $P = 650,25$ Вт;
Сила тока $I = 8,5$ А.

2. Нам необходимо найти сопротивление $R$. Выразим $R$ из исходной формулы. Для этого разделим обе части уравнения на $I^{2}$:
$R = \frac{P}{I^{2}}$.

3. Подставим известные числовые значения в полученную формулу:
$R = \frac{650,25}{8,5^{2}}$.

4. Сначала возведём силу тока в квадрат:
$8,5^{2} = 8,5 \cdot 8,5 = 72,25$.

5. Теперь найдём значение $R$, разделив мощность на квадрат силы тока:
$R = \frac{650,25}{72,25}$.

6. Чтобы избавиться от запятых в делителе и делимом, перенесём запятую на два знака вправо в обоих числах (это равносильно умножению числителя и знаменателя на 100):
$R = \frac{65025}{7225}$.

7. Выполним деление:
$65025 : 7225 = 9$.

Таким образом, сопротивление $R$ равно 9 Ом.

Ответ: 9

Источник: ФИПИ

Решение.

Для того чтобы решить неравенство $25x^2 > 49$, выполним следующие шаги:

1. Перенесём все слагаемые в левую часть неравенства, чтобы справа остался ноль:
$25x^2 - 49 > 0$

2. Заметим, что в левой части находится разность квадратов. Вспомним формулу $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.
Так как $25x^2 = (5x)^2$ и $49 = 7^2$, разложим выражение на множители:
$(5x - 7)(5x + 7) > 0$

3. Найдём корни уравнения $(5x - 7)(5x + 7) = 0$, чтобы определить границы промежутков:
$5x - 7 = 0 \Rightarrow 5x = 7 \Rightarrow x = 1,4$
$5x + 7 = 0 \Rightarrow 5x = -7 \Rightarrow x = -1,4$

4. Эти точки делят числовую прямую на три интервала: $(-\infty; -1,4)$, $(-1,4; 1,4)$ и $(1,4; +\infty)$.
Поскольку перед $x^2$ стоит положительный коэффициент ($25$), графиком функции $y = 25x^2 - 49$ является парабола, ветви которой направлены вверх. Значит, функция принимает положительные значения ($> 0$) на крайних промежутках.

5. Таким образом, решением неравенства являются промежутки:
$x < -1,4$ или $x > 1,4$

Данное решение соответствует варианту под номером 4.

Ответ: 4

Источник: ФИПИ

Решение.

По условию задачи количество мест в рядах амфитеатра увеличивается на одно и то же число. Это означает, что числа, обозначающие количество мест в рядах, образуют арифметическую прогрессию.

Обозначим:
$a_n$ — количество мест в $n$-м ряду;
$d$ — разность арифметической прогрессии (на сколько мест в каждом следующем ряду больше, чем в предыдущем);
$n$ — номер ряда.

Нам известно:
Количество мест в третьем ряду: $a_3 = 24$;
Количество мест в шестом ряду: $a_6 = 33$;
Всего в амфитеатре $18$ рядов, значит, нужно найти количество мест в последнем ряду: $a_{18}$.

Шаг 1. Найдем разность прогрессии $d$.
Воспользуемся формулой $n$-го члена арифметической прогрессии: $a_n = a_1 + (n - 1) \cdot d$.
Выразим шестой член через третий:
$a_6 = a_3 + (6 - 3) \cdot d$
$a_6 = a_3 + 3d$
Подставим известные значения:
$33 = 24 + 3d$
$3d = 33 - 24$
$3d = 9$
$d = 3$
Значит, в каждом следующем ряду на 3 места больше, чем в предыдущем.

Шаг 2. Найдем количество мест в первом ряду $a_1$.
Используем значение для третьего ряда:
$a_3 = a_1 + 2d$
$24 = a_1 + 2 \cdot 3$
$24 = a_1 + 6$
$a_1 = 24 - 6$
$a_1 = 18$

Шаг 3. Вычислим количество мест в последнем (18-м) ряду.
Применим формулу $n$-го члена для $n = 18$:
$a_{18} = a_1 + (18 - 1) \cdot d$
$a_{18} = 18 + 17 \cdot 3$
$a_{18} = 18 + 51$
$a_{18} = 69$

Ответ: 69

Источник: ФИПИ

Решение.

Для решения задачи воспользуемся теоремой Пифагора, которая применяется для прямоугольных треугольников. На рисунке изображён прямоугольный треугольник, где прямой угол отмечен квадратиком.

1) Вспомним формулировку теоремы Пифагора: сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы. Формула выглядит так:
$a^2 + b^2 = c^2$,
где $a$ и $b$ — катеты треугольника, а $c$ — его гипотенуза (сторона, лежащая против прямого угла).

2) По условию задачи нам известны:
один из катетов $a = 40$;
гипотенуза $c = 50$.
Нам необходимо найти второй катет $b$.

3) Выразим квадрат неизвестного катета из формулы:
$b^2 = c^2 - a^2$.

4) Подставим известные значения в уравнение:
$b^2 = 50^2 - 40^2$.
Вычислим квадраты чисел:
$50^2 = 50 \cdot 50 = 2500$;
$40^2 = 40 \cdot 40 = 1600$.

5) Найдём разность:
$b^2 = 2500 - 1600$;
$b^2 = 900$.

6) Чтобы найти $b$, извлечём корень из полученного числа:
$b = \sqrt{900}$;
$b = 30$.

Таким образом, длина второго катета равна 30.

Ответ: 30

Источник: ФИПИ

Решение.

1. Рассмотрим треугольник $A B C$. По условию угол $C = 90^\circ$, значит, данный треугольник является прямоугольным. Нам известны длины его катетов: $A C = 20$ и $B C = 21$.

2. Вспомним важное свойство геометрии: центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника, лежит на середине его гипотенузы. Следовательно, радиус $R$ описанной окружности равен половине гипотенузы $A B$:
$R = \frac{A B}{2}$.

3. Найдем гипотенузу $A B$ по теореме Пифагора:
$A B^2 = A C^2 + B C^2$.
Подставим известные значения:
$A B^2 = 20^2 + 21^2$
$A B^2 = 400 + 441$
$A B^2 = 841$.

4. Извлечем квадратный корень, чтобы найти длину гипотенузы:
$A B = \sqrt{841} = 29$.

5. Теперь вычислим радиус описанной окружности, разделив длину гипотенузы пополам:
$R = \frac{29}{2} = 14,5$.

Ответ: 14,5

Источник: ФИПИ

Решение.

Для решения задачи воспользуемся свойствами прямоугольника и его диагоналей.

1. Вспомним свойство параллелограмма (так как прямоугольник является частным видом параллелограмма): диагонали точкой пересечения делятся пополам. Это значит, что точка $O$ является серединой диагонали $BD$. Следовательно, вся диагональ $BD$ в два раза больше её половины $BO$:
$BD = 2 \cdot BO$.
Подставим известное значение $BO = 17$:
$BD = 2 \cdot 17 = 34$.

2. Теперь воспользуемся специфическим свойством именно прямоугольника: диагонали прямоугольника равны между собой.
Это означает, что диагональ $AC$ равна диагонали $BD$:
$AC = BD$.

3. Так как мы уже нашли, что $BD = 34$, то и искомая диагональ $AC$ также будет равна $34$.

Стоит отметить, что длина стороны $AB = 16$ в данной задаче является избыточным данным и не требуется для нахождения длины диагонали, если известна часть другой диагонали.

Ответ: 34

Источник: ФИПИ

Решение.

Для решения этой задачи вспомним определение диагонали ромба. Диагональ — это отрезок, соединяющий противоположные вершины фигуры.

На рисунке изображён ромб, вершины которого лежат в узлах сетки. Чтобы найти длины его диагоналей, достаточно посчитать количество клеток между противоположными вершинами по горизонтали и по вертикали.

1) Найдём длину горизонтальной диагонали. Посчитаем количество клеток от крайней левой вершины до крайней правой вершины ромба. Пройдя по линии сетки, мы насчитаем $10$ клеток. Так как размер клетки составляет $1 \times 1$, длина этой диагонали равна $10$.

2) Найдём длину вертикальной диагонали. Посчитаем количество клеток от верхней вершины до нижней вершины ромба. Пройдя по линии сетки, мы насчитаем $6$ клеток. Длина этой диагонали равна $6$.

3) Сравним полученные значения: $10 > 6$. Следовательно, большая диагональ ромба равна $10$.

Ответ: 10

Источник: ФИПИ

Решение.

Разберём каждое утверждение по порядку, чтобы определить его истинность или ложность.

1) "Все квадраты имеют равные площади."
Это утверждение неверно. Площадь квадрата вычисляется по формуле $S = a^2$, где $a$ — длина его стороны. Квадраты могут иметь разные стороны (например, со стороной $2$ и со стороной $5$), а значит, и их площади будут различными ($4$ и $25$ соответственно).

2) "Основания равнобедренной трапеции равны."
Это утверждение неверно. По определению трапеции, её основания — это две параллельные стороны, которые не равны друг другу (если бы они были равны и параллельны, фигура была бы параллелограммом). У равнобедренной трапеции равны только боковые стороны.

3) "Через любую точку, лежащую вне окружности, можно провести две касательные к этой окружности."
Это утверждение верно. Согласно свойствам геометрии, если точка находится вне круга, то из неё всегда можно провести ровно две прямые, которые будут касаться окружности. Отрезки этих касательных от данной точки до точек касания будут равны между собой.

Таким образом, истинным является только третье утверждение.

Ответ: 3

Источник: ФИПИ