Вариант 10 · Июль 2026

Решение.

Для того чтобы найти разность двух обыкновенных дробей, их необходимо привести к общему знаменателю. В данном случае знаменатели равны $5$ и $50$. Общим знаменателем будет число $50$, так как оно делится на $5$ без остатка.

1. Найдём дополнительный множитель для первой дроби: $50 : 5 = 10$. Умножим числитель и знаменатель первой дроби на $10$:
$\frac{1 \cdot 10}{5 \cdot 10} = \frac{10}{50}$.

2. Теперь выполним вычитание дробей с одинаковыми знаменателями:
$\frac{10}{50} - \frac{41}{50} = \frac{10 - 41}{50}$.

3. Вычислим разность в числителе. Так как мы вычитаем из меньшего числа большее, результат будет отрицательным:
$10 - 41 = -31$.
Получаем дробь: $-\frac{31}{50}$.

4. Переведём полученный результат в десятичную дробь. Для этого удобно домножить и числитель, и знаменатель на $2$, чтобы в знаменателе получилось число $100$:
$-\frac{31 \cdot 2}{50 \cdot 2} = -\frac{62}{100} = -0,62$.

Ответ: -0,62

Источник: ФИПИ

Решение.

Для решения этой задачи вспомним основное правило расположения чисел на координатной прямой: чем правее находится точка, тем больше соответствующее ей число. И наоборот, чем левее точка, тем число меньше.

1) Посмотрим на рисунок и определим порядок чисел. Точка $x$ расположена левее всех, затем идёт точка $y$, а правее всех находится точка $z$. Таким образом, мы можем записать следующее неравенство: $x < y < z$.

2) Теперь проанализируем каждую из предложенных разностей. Вспомним, что разность двух чисел отрицательна тогда и только тогда, когда мы из меньшего числа вычитаем большее ($a - b < 0$, если $a < b$).

3) Проверим вариант №1: $z - x$. Так как $z$ находится правее $x$, то $z > x$. Разность большего и меньшего чисел всегда положительна: $z - x > 0$.

4) Проверим вариант №2: $z - y$. Так как $z$ находится правее $y$, то $z > y$. Следовательно, разность $z - y > 0$, то есть она положительна.

5) Проверим вариант №3: $y - x$. Так как $y$ находится правее $x$, то $y > x$. Значит, разность $y - x > 0$, она также положительна.

6) Мы видим, что все три предложенные разности ($z - x$, $z - y$, $y - x$) являются положительными числами. Следовательно, среди них нет отрицательных.

Таким образом, верным является утверждение под номером 4 — ни одна из разностей не отрицательна.

Ответ: 4

Источник: ФИПИ

Решение.

Для того чтобы найти значение выражения $\sqrt{\frac{25 x^{2}}{y^{4}}}$, сначала упростим его, используя свойства квадратного корня.

1. Воспользуемся свойством корня из дроби: корень из дроби равен корню из числителя, делённому на корень из знаменателя:
$\sqrt{\frac{25 x^{2}}{y^{4}}} = \frac{\sqrt{25 x^{2}}}{\sqrt{y^{4}}}$

2. Теперь извлечём корень из числителя и знаменателя по отдельности:
— В числителе: $\sqrt{25 x^{2}} = \sqrt{25} \cdot \sqrt{x^{2}} = 5 \cdot |x|$. Так как по условию $x = 10$ (положительное число), то $|x| = x$. Получаем $5x$.
— В знаменателе: $\sqrt{y^{4}} = \sqrt{(y^{2})^{2}} = y^{2}$. Так как любое число в квадрате не может быть отрицательным, модуль здесь можно не ставить.

3. Таким образом, наше выражение приняло вид:
$\frac{5x}{y^{2}}$

4. Подставим данные в условии значения переменных $x = 10$ и $y = 5$ в упрощённое выражение:
$\frac{5 \cdot 10}{5^{2}} = \frac{50}{25}$

5. Выполним деление:
$\frac{50}{25} = 2$

Ответ: 2

Источник: ФИПИ

Решение.

Для решения линейного уравнения $3x + 3 = 5x$ воспользуемся правилом переноса слагаемых: перенесём все слагаемые, содержащие переменную $x$, в одну сторону уравнения, а числа — в другую.

1. Перенесём $3x$ из левой части уравнения в правую, изменив знак на противоположный. Получим:
$3 = 5x - 3x$

2. Приведём подобные слагаемые в правой части уравнения:
$3 = 2x$

3. Чтобы найти значение $x$, нужно разделить обе части уравнения на коэффициент перед $x$, то есть на $2$:
$x = \frac{3}{2}$

4. Переведём полученную обыкновенную дробь в десятичную. Для этого разделим $3$ на $2$:
$x = 1,5$

Ответ: 1,5

Источник: ФИПИ

Решение.

Для решения этой задачи воспользуемся классическим определением вероятности. Вероятность случайного события $A$ равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу всех равновозможных исходов опыта.

1. Из условия задачи нам известно общее число равновозможных элементарных событий:
$n = 50$.

2. Также известно число элементарных событий, которые благоприятствуют наступлению события $A$:
$m = 20$.

3. Формула для вычисления вероятности события $A$ выглядит следующим образом:
$P(A) = \frac{m}{n}$.

4. Подставим наши значения в формулу:
$P(A) = \frac{20}{50}$.

5. Чтобы перевести дробь в десятичный вид, сократим её на $10$:
$P(A) = \frac{2}{5}$.

6. Теперь приведём дробь к знаменателю $10$, умножив числитель и знаменатель на $2$:
$P(A) = \frac{4}{10} = 0{,}4$.

Ответ: 0,4

Источник: ФИПИ

Решение. Для решения этой задачи вспомним геометрический смысл коэффициентов линейной функции $y = kx + b$:

1) Коэффициент $k$ отвечает за наклон прямой. Если $k > 0$, то функция возрастает (прямая идёт «вверх» слева направо). Если $k < 0$, то функция убывает (прямая идёт «вниз» слева направо).
2) Коэффициент $b$ — это ордината точки пересечения графика с осью $Oy$. Если $b > 0$, прямая пересекает ось $Oy$ выше начала координат (выше нуля). Если $b < 0$, прямая пересекает ось $Oy$ ниже начала координат (ниже нуля).

Проанализируем каждый график:

График №1: Прямая идёт вверх (возрастает), значит $k > 0$. Она пересекает ось $Oy$ ниже горизонтальной оси $Ox$, значит $b < 0$. Это соответствует условию Б.

График №2: Прямая идёт вниз (убывает), значит $k < 0$. Она пересекает ось $Oy$ выше горизонтальной оси $Ox$, значит $b > 0$. Это соответствует условию В.

График №3: Прямая идёт вверх (возрастает), значит $k > 0$. Она пересекает ось $Oy$ выше горизонтальной оси $Ox$, значит $b > 0$. Это соответствует условию А.

Сопоставим буквы и цифры:
А — 3
Б — 1
В — 2

Ответ: 312

Источник: ФИПИ

Решение.

Для решения задачи воспользуемся данной в условии формулой перевода температуры из шкалы Фаренгейта в шкалу Цельсия:
$t_{C} = \frac{5}{9} (t_{F} - 32)$

По условию нам известно значение температуры по шкале Фаренгейта:
$t_{F} = 41$

Чтобы найти соответствующую температуру в градусах Цельсия ($t_{C}$), подставим известное значение $t_{F}$ в формулу и выполним вычисления по шагам:

1) Сначала выполним действие в скобках:
$41 - 32 = 9$

2) Теперь подставим полученный результат обратно в формулу:
$t_{C} = \frac{5}{9} \cdot 9$

3) При умножении дроби на число, это число сокращается со знаменателем (так как $9 : 9 = 1$):
$t_{C} = 5 \cdot 1 = 5$

Таким образом, 41 градус по шкале Фаренгейта соответствует 5 градусам по шкале Цельсия.

Ответ: 5

Источник: ФИПИ

Решение.

Для того чтобы решить неравенство $(x+2)(x-7) > 0$, воспользуемся методом интервалов.

1. Найдём корни уравнения.
Приравняем левую часть неравенства к нулю: $(x+2)(x-7) = 0$.
Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю:
$x + 2 = 0$ или $x - 7 = 0$.
Отсюда получаем два корня: $x = -2$ и $x = 7$.

2. Отметим корни на числовой прямой.
Так как знак неравенства строгий ($>$), точки на прямой будут «выколотыми» (пустыми), то есть сами числа $-2$ и $7$ не входят в решение.

3. Определим знаки на интервалах.
Числа $-2$ и $7$ разбивают числовую ось на три интервала: $(-\infty; -2)$, $(-2; 7)$ и $(7; +\infty)$.
Проверим знак выражения $(x+2)(x-7)$ на каждом из них:
— На интервале $(7; +\infty)$: возьмём $x = 10$. Получим $(10+2)(10-7) = 12 \cdot 3 = 36 > 0$. Ставим знак «плюс».
— На интервале $(-2; 7)$: возьмём $x = 0$. Получим $(0+2)(0-7) = 2 \cdot (-7) = -14 < 0$. Ставим знак «минус».
— На интервале $(-\infty; -2)$: возьмём $x = -5$. Получим $(-5+2)(-5-7) = (-3) \cdot (-12) = 36 > 0$. Ставим знак «плюс».

4. Выберем нужные промежутки.
По условию нам нужно найти значения $x$, при которых выражение больше нуля ($> 0$). Это соответствует интервалам со знаком «плюс»: $(-\infty; -2)$ и $(7; +\infty)$.

Данное решение соответствует варианту под номером 4.

Ответ: 4

Источник: ФИПИ

Решение.

Проанализируем условие задачи. Расстояние, которое автомобиль проезжает за каждую секунду, уменьшается на одну и ту же величину. Это означает, что последовательность расстояний является арифметической прогрессией.

Выпишем известные нам данные:
1. Расстояние за первую секунду: $a_1 = 27$ м.
2. Разность прогрессии (так как расстояние уменьшается): $d = -4$ м.
3. Количество секунд (количество членов прогрессии): $n = 6$.

Нам необходимо найти общее расстояние, пройденное за 6 секунд. Это сумма первых шести членов арифметической прогрессии $S_6$.

Воспользуемся формулой суммы первых $n$ членов арифметической прогрессии:
$S_n = \frac{2a_1 + d(n - 1)}{2} \cdot n$

Подставим наши значения в формулу:
$S_6 = \frac{2 \cdot 27 + (-4) \cdot (6 - 1)}{2} \cdot 6$

Выполним вычисления по шагам:
1) Найдём значение в скобках: $6 - 1 = 5$.
2) Умножим на разность: $-4 \cdot 5 = -20$.
3) Вычислим удвоенный первый член: $2 \cdot 27 = 54$.
4) Найдём числитель дроби: $54 - 20 = 34$.
5) Разделим на 2 и умножим на количество секунд: $\frac{34}{2} \cdot 6 = 17 \cdot 6$.
6) Итоговый результат: $17 \cdot 6 = 102$.

Таким образом, за первые 6 секунд торможения автомобиль прошёл 102 метра.

Ответ: 102

Источник: ФИПИ

Решение.

1. Вспомним определение медианы треугольника. Медиана — это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны.

2. По условию задачи $B M$ является медианой треугольника $A B C$, проведённой к стороне $A C$. Это означает, что точка $M$ делит сторону $A C$ на два равных отрезка: $A M$ и $M C$.

3. Следовательно, длина отрезка $A M$ равна половине длины всей стороны $A C$. Запишем это в виде формулы:
$A M = \frac{A C}{2}$

4. Нам известно, что $A C = 58$. Подставим это значение в формулу:
$A M = \frac{58}{2}$

5. Выполним деление:
$58 : 2 = 29$

Стоит отметить, что длина самой медианы $B M = 37$ в данной задаче является избыточным данным и не требуется для нахождения отрезка $A M$.

Ответ: 29

Источник: ФИПИ

Решение.

Для решения этой задачи воспользуемся важным свойством четырехугольника, вписанного в окружность.

1. Согласно теореме о вписанном четырёхугольнике, сумма противоположных углов такого четырёхугольника равна $180^\circ$. Трапеция $ABCD$ является вписанным четырёхугольником, так как все её вершины лежат на окружности.

2. Противоположными углами в данной трапеции являются пары углов $A$ и $C$, а также $B$ и $D$. Следовательно, сумма углов $A$ и $C$ составляет $180^\circ$:
$\angle A + \angle C = 180^\circ$

3. По условию задачи угол $A$ равен $69^\circ$. Подставим это значение в наше уравнение:
$69^\circ + \angle C = 180^\circ$

4. Теперь найдём величину угла $C$, вычтя из $180^\circ$ известную величину угла $A$:
$\angle C = 180^\circ - 69^\circ$
$\angle C = 111^\circ$

Стоит отметить, что любая трапеция, вписанная в окружность, обязательно является равнобедренной, но для нахождения противоположного угла нам достаточно общего свойства вписанного четырёхугольника.

Ответ: 111

Источник: ФИПИ

Решение.

1. Разберёмся, как связаны между собой квадрат и вписанная в него окружность. На рисунке изображён квадрат, стороны которого касаются окружности. Это означает, что окружность является вписанной в квадрат.

2. Заметим, что расстояние между противоположными сторонами квадрата равно диаметру вписанной окружности. Так как стороны квадрата параллельны, а диаметр проходит через центр окружности перпендикулярно этим сторонам, длина стороны квадрата $a$ в точности равна диаметру окружности $D$.

3. Диаметр окружности в два раза больше её радиуса $r$. По условию задачи радиус $r = 25$. Найдём сторону квадрата:
$a = D = 2 \cdot r$
$a = 2 \cdot 25 = 50$.

4. Теперь, зная сторону квадрата, мы можем найти его площадь $S$. Площадь квадрата вычисляется по формуле:
$S = a^2$
$S = 50^2 = 50 \cdot 50 = 2500$.

Ответ: 2500

Источник: ФИПИ

Решение.

Для решения этой задачи воспользуемся определением и формулой средней линии трапеции. Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.

Шаг 1. Определим длины оснований трапеции.
Основания трапеции — это её параллельные стороны. На рисунке они расположены горизонтально. Посчитаем их длину по клеткам, учитывая, что размер одной клетки составляет $1 \times 1$:
1) Верхнее основание (обозначим его $a$) занимает $3$ клетки. Значит, $a = 3$.
2) Нижнее основание (обозначим его $b$) занимает $7$ клеток. Значит, $b = 7$.

Шаг 2. Применим формулу средней линии.
Пусть $m$ — длина средней линии трапеции. Формула для её нахождения выглядит так:
$m = \frac{a + b}{2}$

Шаг 3. Выполним вычисления.
Подставим найденные значения оснований в формулу:
$m = \frac{3 + 7}{2} = \frac{10}{2} = 5$

Таким образом, длина средней линии данной трапеции равна $5$.

Ответ: 5

Источник: ФИПИ

Решение. Рассмотрим каждое утверждение по порядку, чтобы определить его истинность.

1) Центр описанной около треугольника окружности всегда лежит внутри этого треугольника.
Это утверждение ложно. Положение центра описанной окружности зависит от вида треугольника:

• В остроугольном треугольнике центр действительно лежит внутри.
• В прямоугольном треугольнике центр лежит на середине гипотенузы.
• В тупоугольном треугольнике центр лежит вне треугольника.

Следовательно, слово «всегда» делает это утверждение неверным.

2) Сумма углов равнобедренного треугольника равна 180 градусам.
Это утверждение истинно. Согласно теореме о сумме углов треугольника, сумма углов любого треугольника (независимо от того, равнобедренный он, равносторонний или разносторонний) на плоскости всегда равна $180^\circ$.

3) Диагонали ромба равны.
Это утверждение ложно. По свойствам ромба его диагонали взаимно перпендикулярны и являются биссектрисами его углов, но они равны только в том случае, если ромб является квадратом. В общем случае у ромба одна диагональ больше другой.

Таким образом, верным является только утверждение под номером 2.

Ответ: 2

Источник: ФИПИ