Вариант 2 · Июль 2026

Решение.

Для того чтобы найти значение данного выражения, выполним деление обыкновенных дробей по шагам.

1. Вспомним правило деления дробей: чтобы разделить одну дробь на другую, нужно первую дробь умножить на дробь, обратную второй (то есть "перевернуть" вторую дробь).
Применим это правило: $\frac{12}{5} : \frac{15}{2} = \frac{12}{5} \cdot \frac{2}{15}$.

2. Выполним умножение числителей и знаменателей: $\frac{12 \cdot 2}{5 \cdot 15}$.
Прежде чем вычислять результат, заметим, что числа $12$ и $15$ имеют общий делитель $3$. Сократим дробь на $3$:
$12 : 3 = 4$,
$15 : 3 = 5$.
Теперь выражение выглядит так: $\frac{4 \cdot 2}{5 \cdot 5}$.

3. Вычислим значения в числителе и знаменателе:
$4 \cdot 2 = 8$,
$5 \cdot 5 = 25$.
Получаем дробь $\frac{8}{25}$.

4. Переведём полученную обыкновенную дробь в десятичную. Для этого можно либо разделить $8$ на $25$ в столбик, либо домножить и числитель, и знаменатель на $4$, чтобы в знаменателе получилось $100$:
$\frac{8 \cdot 4}{25 \cdot 4} = \frac{32}{100} = 0,32$.

Ответ: 0,32

Источник: ФИПИ

Решение.

1. Проанализируем положение точки $A$ на числовой прямой. На рисунке видно, что точка $A$ находится между делениями $0$ и $0,1$. При этом она расположена очень близко к отметке $0,1$, но чуть левее неё. Таким образом, искомое число должно удовлетворять условию: $0 < A < 0,1$.

2. Чтобы понять, какое из предложенных чисел соответствует этой точке, переведём обыкновенные дроби в десятичные (приблизительно), разделив числитель на знаменатель:

1) $\frac{2}{23}$. Выполним деление столбиком: $2 : 23 \approx 0,0869...$. Это число меньше $0,1$ и находится очень близко к нему (так как $0,087$ почти равно $0,100$). Это соответствует положению точки $A$.

2) $\frac{3}{23}$. Выполним деление: $3 : 23 \approx 0,1304...$. Это число больше $0,1$, значит, оно должно находиться правее первой отметки. Оно нам не подходит.

3) $\frac{5}{23}$. Выполним деление: $5 : 23 \approx 0,2173...$. Это число больше $0,2$, оно находится ещё дальше вправо.

4) $\frac{11}{23}$. Заметим, что $11$ — это почти половина от $23$. Значит, дробь примерно равна $0,5$. Это число находится в середине отрезка от $0$ до $1$, что явно не соответствует точке $A$.

3. Сравнив полученные результаты, мы видим, что только число $\frac{2}{23} \approx 0,087$ попадает в интервал от $0$ до $0,1$ и располагается в непосредственной близости к $0,1$, как и точка $A$ на рисунке.

Ответ: 1

Источник: ФИПИ

Решение.

Для того чтобы найти значение выражения, сначала упростим его, используя свойства степеней и корней.

1. Рассмотрим выражение под корнем: $\frac{64 a^{17}}{a^{15}}$.
При делении степеней с одинаковыми основаниями показатели вычитаются: $a^{m} : a^{n} = a^{m-n}$.
Применим это правило:
$\frac{a^{17}}{a^{15}} = a^{17-15} = a^{2}$.

2. Теперь наше выражение принимает вид:
$\sqrt{64 a^{2}}$.

3. Воспользуемся свойством корня из произведения: корень из произведения равен произведению корней из каждого множителя ($\sqrt{x \cdot y} = \sqrt{x} \cdot \sqrt{y}$):
$\sqrt{64 a^{2}} = \sqrt{64} \cdot \sqrt{a^{2}}$.

4. Извлечём корни:
$\sqrt{64} = 8$;
$\sqrt{a^{2}} = |a|$.
Так как по условию $a = 7$ (положительное число), то $|a| = a$.
Получаем упрощённое выражение: $8a$.

5. Подставим значение $a = 7$ в полученное выражение:
$8 \cdot 7 = 56$.

Ответ: 56

Источник: ФИПИ

Решение.

Для решения уравнения $x^{2} - 16 = 0$ воспользуемся методом переноса слагаемого или формулой разности квадратов. Рассмотрим оба способа.

Способ 1: Извлечение корня.
1. Перенесём число $-16$ в правую часть уравнения, изменив его знак на противоположный:
$x^{2} = 16$
2. Чтобы найти $x$, нужно извлечь квадратный корень из обеих частей уравнения. Помним, что квадратное уравнение вида $x^{2} = a$ (где $a > 0$) имеет два корня: положительный и отрицательный:
$x = \pm\sqrt{16}$
$x_{1} = 4$
$x_{2} = -4$

Способ 2: Разложение на множители.
1. Заметим, что $16 = 4^{2}$. Применим формулу разности квадратов $a^{2} - b^{2} = (a - b)(a + b)$:
$(x - 4)(x + 4) = 0$
2. Произведение двух множителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из них равен нулю:
$x - 4 = 0$ или $x + 4 = 0$
$x_{1} = 4$
$x_{2} = -4$

Уравнение имеет два корня: $4$ и $-4$. По условию задачи, если уравнение имеет более одного корня, в ответ необходимо записать больший из них.
Сравним полученные числа: $4 > -4$. Следовательно, больший корень равен $4$.

Ответ: 4

Источник: ФИПИ

Решение.

Для решения задачи воспользуемся классическим определением вероятности. Вероятность события равна отношению количества благоприятных исходов к общему количеству возможных исходов.

1) Сначала найдём общее количество чашек. По условию задачи их всего $10$. Это и будет общее число возможных исходов.

2) Теперь определим количество чашек с синими цветами (благоприятные исходы). Так как всего чашек $10$, а с красными цветами — $4$, то количество чашек с синими цветами равно:
$10 - 4 = 6$.

3) Вычислим вероятность того, что бабушка выберет чашку с синими цветами. Для этого разделим количество «синих» чашек на общее количество чашек:
$P = \frac{6}{10}$.

4) Переведём обыкновенную дробь в десятичную:
$\frac{6}{10} = 0,6$.

Ответ: 0,6

Источник: ФИПИ

Решение. Для того чтобы успешно сопоставить графики линейных функций $y = kx + b$ с коэффициентами, вспомним геометрический смысл $k$ и $b$:

1) Коэффициент $k$ (угловой коэффициент) отвечает за наклон прямой. Если $k > 0$, функция возрастает (прямая идёт "вверх" слева направо). Если $k < 0$, функция убывает (прямая идёт "вниз" слева направо).
2) Коэффициент $b$ — это ордината точки пересечения прямой с осью $Oy$. Если прямая пересекает ось $Oy$ выше начала координат (оси $Ox$), то $b > 0$. Если ниже — то $b < 0$.

Проанализируем каждый график:

График А: Прямая идёт вверх (возрастает), значит, $k > 0$. Точка пересечения с осью $Oy$ находится выше нуля, значит, $b > 0$. Это соответствует варианту 2.

График Б: Прямая идёт вверх (возрастает), значит, $k > 0$. Точка пересечения с осью $Oy$ находится ниже нуля, значит, $b < 0$. Это соответствует варианту 3.

График В: Прямая идёт вниз (убывает), значит, $k < 0$. Точка пересечения с осью $Oy$ находится выше нуля, значит, $b > 0$. Это соответствует варианту 1.

Таким образом, получаем соответствие: А — 2, Б — 3, В — 1.

Ответ: 231

Источник: ФИПИ

Решение.

Для решения задачи воспользуемся данной формулой площади четырёхугольника: $S = \frac{d_{1} \cdot d_{2} \cdot \sin \alpha}{2}$.

Шаг 1. Выпишем значения величин, которые нам известны по условию задачи:
$d_{2} = 12$
$\sin \alpha = \frac{5}{12}$
$S = 22,5$

Шаг 2. Подставим эти значения в исходную формулу:
$22,5 = \frac{d_{1} \cdot 12 \cdot \frac{5}{12}}{2}$

Шаг 3. Упростим выражение в правой части уравнения. Заметим, что в числителе дроби число $12$ и знаменатель дроби $\frac{5}{12}$ сокращаются:
$12 \cdot \frac{5}{12} = 5$

Теперь уравнение принимает вид:
$22,5 = \frac{d_{1} \cdot 5}{2}$

Шаг 4. Выполним деление в правой части: $\frac{5}{2} = 2,5$.
$22,5 = 2,5 \cdot d_{1}$

Шаг 5. Чтобы найти неизвестный множитель $d_{1}$, разделим произведение на известный множитель:
$d_{1} = \frac{22,5}{2,5}$

Для удобства перенесём запятую на один знак вправо в обоих числах:
$d_{1} = \frac{225}{25}$
$d_{1} = 9$

Ответ: 9

Источник: ФИПИ

Решение.

Для того чтобы найти решение системы неравенств, необходимо решить каждое неравенство по отдельности, а затем найти их общее решение (пересечение промежутков).

1) Решим первое неравенство системы:
$x + 1,8 \leq 0$
Перенесём число $1,8$ в правую часть уравнения с противоположным знаком:
$x \leq -1,8$

2) Решим второе неравенство системы:
$x + 0,5 \leq -0,5$
Перенесём число $0,5$ в правую часть с противоположным знаком:
$x \leq -0,5 - 0,5$
Выполним сложение отрицательных чисел:
$x \leq -1$

3) Теперь объединим полученные результаты в систему:
$\begin{cases} x \leq -1,8 \\ x \leq -1 \end{cases}$

4) Найдём пересечение этих промежутков на числовой прямой.
Решением первого неравенства являются все числа, лежащие левее или равные $-1,8$.
Решением второго неравенства являются все числа, лежащие левее или равные $-1$.
Так как число $-1,8$ меньше, чем $-1$, то область, где выполняются оба условия одновременно — это промежуток от минус бесконечности до $-1,8$ включительно: $x \in (-\infty; -1,8]$.

На предложенных рисунках этому решению соответствует рисунок под номером 1, где заштрихована область левее точки $-1,8$.

Ответ: 1

Источник: ФИПИ

Решение.

Проанализируем условие задачи. Расстояние, которое проезжает автомобиль каждую секунду, уменьшается на одно и то же число (на $3$ метра). Это означает, что последовательность расстояний является арифметической прогрессией.

Выпишем известные нам данные:
1. Расстояние за первую секунду: $a_1 = 24$.
2. Разность прогрессии (так как расстояние уменьшается): $d = -3$.
3. Время движения: $n = 4$ секунды.

Нам нужно найти общее расстояние, пройденное за первые 4 секунды. Это сумма первых четырёх членов арифметической прогрессии $S_4$.

Шаг 1. Найдём расстояние, пройденное за четвёртую секунду.
Воспользуемся формулой $n$-го члена арифметической прогрессии:
$a_n = a_1 + d(n - 1)$
Подставим значения для $n = 4$:
$a_4 = 24 + (-3) \cdot (4 - 1)$
$a_4 = 24 - 3 \cdot 3$
$a_4 = 24 - 9 = 15$ (м).

Шаг 2. Найдём сумму расстояний за 4 секунды.
Воспользуемся формулой суммы первых $n$ членов:
$S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$
Подставим наши значения:
$S_4 = \frac{24 + 15}{2} \cdot 4$
$S_4 = \frac{39}{2} \cdot 4$
Сократим $4$ и $2$:
$S_4 = 39 \cdot 2 = 78$ (м).

Замечание: Задачу можно решить и простым сложением, вычислив путь за каждую секунду:
1-я сек: $24$ м
2-я сек: $24 - 3 = 21$ м
3-я сек: $21 - 3 = 18$ м
4-я сек: $18 - 3 = 15$ м
Итого: $24 + 21 + 18 + 15 = 78$ м.

Ответ: 78

Источник: ФИПИ

Решение.

1. Рассмотрим треугольник $A B C$. По условию задачи $B H$ является высотой, проведённой к стороне $A C$. Это означает, что отрезок $B H$ перпендикулярен прямой $A C$, следовательно, угол $B H A$ равен $90^\circ$.

2. Высота $B H$ разбивает исходный треугольник на два прямоугольных треугольника. Рассмотрим треугольник $A B H$. Он является прямоугольным, так как $\angle B H A = 90^\circ$.

3. Нам известно, что угол $B A C$ (который в треугольнике $A B H$ совпадает с углом $B A H$) равен $82^\circ$.

4. Вспомним важное свойство: сумма острых углов в любом прямоугольном треугольнике всегда равна $90^\circ$. Для треугольника $A B H$ это записывается так:
$\angle A B H + \angle B A H = 90^\circ$.

5. Теперь подставим известное значение угла $B A H$ в это уравнение:
$\angle A B H + 82^\circ = 90^\circ$.

6. Чтобы найти искомый угол $A B H$, вычтем из $90^\circ$ величину известного угла:
$\angle A B H = 90^\circ - 82^\circ = 8^\circ$.

Ответ: 8

Источник: ФИПИ

Решение.

Для решения задачи воспользуемся свойствами вписанных углов и дуг окружности.

1) По условию $A B$ — диаметр окружности. Диаметр делит окружность на две равные дуги по $180^\circ$. Следовательно, градусная мера дуги $A N B$, на которую опирается диаметр, равна $180^\circ$.

2) Рассмотрим вписанный угол $N B A$. По условию $\angle N B A = 71^\circ$. Вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается. Значит, дуга $A N$, на которую опирается этот угол, в два раза больше него:
$\cup A N = 2 \cdot \angle N B A = 2 \cdot 71^\circ = 142^\circ$.

3) Так как точка $N$ лежит на дуге $A N B$, мы можем найти градусную меру дуги $N B$. Для этого из полной дуги полуокружности $A N B$ вычтем дугу $A N$:
$\cup N B = \cup A N B - \cup A N = 180^\circ - 142^\circ = 38^\circ$.

4) Нам необходимо найти угол $N M B$. Этот угол также является вписанным и опирается на дугу $N B$. По свойству вписанного угла:
$\angle N M B = \frac{1}{2} \cdot \cup N B$.

5) Подставим найденное значение дуги:
$\angle N M B = \frac{38^\circ}{2} = 19^\circ$.

Ответ: 19

Источник: ФИПИ

Решение.

Для решения задачи воспользуемся формулой площади параллелограмма: площадь равна произведению стороны на высоту, проведённую к этой стороне. Формула выглядит так: $S = a \cdot h_a$, где $a$ — сторона, а $h_a$ — высота, опущенная на неё.

По условию задачи нам известны площадь параллелограмма $S = 60$ и две его стороны: $a = 20$ и $b = 4$. К каждой из этих сторон можно провести свою высоту. Обозначим их как $h_1$ и $h_2$.

1) Найдём первую высоту, проведённую к стороне $a = 20$:
$60 = 20 \cdot h_1$
Отсюда $h_1 = 60 : 20 = 3$.

2) Найдём вторую высоту, проведённую к стороне $b = 4$:
$60 = 4 \cdot h_2$
Отсюда $h_2 = 60 : 4 = 15$.

3) Сравним полученные высоты: $3$ и $15$. В задаче требуется найти большую высоту. Очевидно, что $15 > 3$.

Заметим важную закономерность: в параллелограмме к большей стороне всегда проведена меньшая высота, а к меньшей стороне — большая высота.

Ответ: 15

Источник: ФИПИ

Решение.

Для нахождения площади ромба, изображённого на клетчатой бумаге, удобнее всего воспользоваться формулой через его диагонали. Площадь ромба равна половине произведения его диагоналей:

$S = \frac{1}{2} \cdot d_1 \cdot d_2$, где $d_1$ и $d_2$ — длины диагоналей ромба.

1) Сначала найдём длину горизонтальной диагонали. Посчитаем количество клеток между левой и правой вершинами ромба. Горизонтальная диагональ занимает $4$ клетки. Так как размер клетки $1 \times 1$, то её длина $d_1 = 4$.

2) Теперь найдём длину вертикальной диагонали. Посчитаем количество клеток между верхней и нижней вершинами ромба. Вертикальная диагональ занимает $6$ клеток. Значит, её длина $d_2 = 6$.

3) Подставим полученные значения в формулу площади:

$S = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 6$

$S = \frac{24}{2} = 12$

Таким образом, площадь ромба равна $12$.

Ответ: 12

Источник: ФИПИ

Решение.

Разберём каждое утверждение по порядку, опираясь на геометрические правила и свойства фигур.

1) Все высоты равностороннего треугольника равны.
В равностороннем треугольнике все стороны равны и все углы равны $60^\circ$. Высота в таком треугольнике вычисляется по формуле $h = \frac{a\sqrt{3}}{2}$, где $a$ — сторона треугольника. Так как все стороны одинаковы, то и все три высоты будут иметь одинаковую длину. Кроме того, в правильном треугольнике высоты являются также медианами и биссектрисами.
Утверждение верно.

2) Угол, вписанный в окружность, равен соответствующему центральному углу, опирающемуся на ту же дугу.
Согласно теореме о вписанном угле, величина вписанного угла равна половине дуги, на которую он опирается. Центральный же угол равен всей величине этой дуги. Таким образом, вписанный угол в два раза меньше центрального угла, опирающегося на ту же дугу ($\angle_{впис} = \frac{1}{2} \angle_{центр}$).
Утверждение неверно.

3) В любой ромб можно вписать окружность.
В четырёхугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда суммы длин его противоположных сторон равны. У ромба все четыре стороны равны по определению ($a + a = a + a$), следовательно, это условие всегда выполняется. Центром вписанной окружности в ромбе является точка пересечения его диагоналей.
Утверждение верно.

Таким образом, верными являются утверждения под номерами 1 и 3.

Ответ: 13

Источник: ФИПИ