Вариант 3 · Июль 2026

Решение. Для того чтобы найти разность двух обыкновенных дробей, их необходимо привести к общему знаменателю.

Шаг 1. Приведение к общему знаменателю.
Рассмотрим знаменатели дробей: $10$ и $50$. Заметим, что число $50$ делится на $10$ без остатка. Значит, общим знаменателем будет $50$.
Чтобы привести первую дробь $\frac{1}{10}$ к знаменателю $50$, нужно и числитель, и знаменатель умножить на дополнительный множитель $5$ (так как $50 : 10 = 5$):
$\frac{1 \cdot 5}{10 \cdot 5} = \frac{5}{50}$.

Шаг 2. Вычитание дробей.
Теперь вычтем дроби с одинаковыми знаменателями. Для этого из числителя первой дроби вычтем числитель второй дроби, а знаменатель оставим прежним:
$\frac{5}{50} - \frac{39}{50} = \frac{5 - 39}{50}$.

Шаг 3. Вычисление в числителе.
Выполним вычитание: $5 - 39 = -34$.
Получаем дробь: $\frac{-34}{50}$.

Шаг 4. Перевод в десятичную дробь.
В задачах ОГЭ ответ принято записывать в виде десятичной дроби. Чтобы перевести $\frac{-34}{50}$ в десятичный вид, удобно привести знаменатель к $100$. Для этого умножим числитель и знаменатель на $2$:
$\frac{-34 \cdot 2}{50 \cdot 2} = \frac{-68}{100}$.
Запишем результат в виде десятичной дроби: $-0,68$.

Ответ: -0,68

Источник: ФИПИ

Решение.

Чтобы определить, какому из промежутков принадлежит обыкновенная дробь $\frac{7}{11}$, необходимо перевести её в десятичный вид. Для этого разделим числитель на знаменатель «уголком» или в столбик.

1) Выполним деление $7$ на $11$:
— $7$ меньше $11$, поэтому целая часть равна $0$. Ставим запятую.
— Добавляем к семёрке ноль, получаем $70$. Делим $70$ на $11$. Ближайшее число — $66$ ($11 \cdot 6$). Остаток $4$.
— Добавляем к четвёрке ноль, получаем $40$. Делим $40$ на $11$. Ближайшее число — $33$ ($11 \cdot 3$). Остаток $7$.
— Процесс начинает повторяться.

Таким образом, $\frac{7}{11} = 0,6363...$

2) Теперь сравним полученное число $0,6363...$ с границами предложенных промежутков:
— Число $0,6363...$ больше, чем $0,6$, но меньше, чем $0,7$.
— Это можно записать в виде двойного неравенства: $0,6 < 0,6363... < 0,7$.

3) Следовательно, число принадлежит промежутку $[0,6; 0,7]$. Этот промежуток указан под номером 3.

Ответ: 3

Источник: ФИПИ

Решение.

Для решения данного выражения воспользуемся распределительным свойством умножения: чтобы умножить разность на число, нужно уменьшаемое и вычитаемое умножить на это число и из первого результата вычесть второй. То есть $(a - b) \cdot c = a \cdot c - b \cdot c$.

1) Раскроем скобки, умножив каждое слагаемое внутри на $\sqrt{5}$:
$(\sqrt{125} - \sqrt{5}) \cdot \sqrt{5} = \sqrt{125} \cdot \sqrt{5} - \sqrt{5} \cdot \sqrt{5}$

2) Применим свойство корней: произведение корней равно корню из произведения $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{a \cdot b}$:
$\sqrt{125} \cdot \sqrt{5} = \sqrt{125 \cdot 5} = \sqrt{625}$

3) Вычислим значения полученных корней:
Извлечем корень из $625$. Мы знаем, что $25^2 = 625$, значит $\sqrt{625} = 25$.
Также вспомним, что корень из числа в квадрате равен самому числу (для положительных чисел): $\sqrt{5} \cdot \sqrt{5} = (\sqrt{5})^2 = 5$.

4) Подставим полученные числа в наше выражение и найдем разность:
$25 - 5 = 20$

Ответ: 20

Источник: ФИПИ

Решение.

Данное уравнение $x^{2} - 7x + 10 = 0$ является полным квадратным уравнением вида $ax^{2} + bx + c = 0$, где коэффициенты равны: $a = 1$, $b = -7$, $c = 10$.

Шаг 1. Найдём дискриминант.
Воспользуемся формулой дискриминанта: $D = b^{2} - 4ac$.
Подставим значения коэффициентов:
$D = (-7)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 10 = 49 - 40 = 9$.
Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных корня.

Шаг 2. Найдём корни уравнения.
Воспользуемся формулой корней квадратного уравнения: $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$.
Вычислим корень из дискриминанта: $\sqrt{D} = \sqrt{9} = 3$.
Теперь найдём каждый корень по отдельности:
1) $x_{1} = \frac{-(-7) + 3}{2 \cdot 1} = \frac{7 + 3}{2} = \frac{10}{2} = 5$;
2) $x_{2} = \frac{-(-7) - 3}{2 \cdot 1} = \frac{7 - 3}{2} = \frac{4}{2} = 2$.

Шаг 3. Выбор ответа.
По условию задачи, если уравнение имеет более одного корня, в ответ необходимо записать меньший из них. Сравним полученные корни: $2 < 5$. Следовательно, меньшим корнем является $2$.

Ответ: 2

Источник: ФИПИ

Решение.

Для решения задачи воспользуемся классическим определением вероятности. Вероятность события $P(A)$ равна отношению количества благоприятных исходов $m$ к общему количеству возможных исходов $n$:
$P(A) = \frac{m}{n}$

1. Сначала определим общее количество исходов $n$. Так как всего закуплено 25 пазлов и они распределяются случайным образом, то Андрюше может достаться любой из этих 25 пазлов. Значит, $n = 25$.

2. Теперь определим количество благоприятных исходов $m$. Нас интересует событие, при котором Андрюше достанется пазл с машиной. По условию задачи пазлов с машинами всего 24. Значит, $m = 24$.

3. Вычислим вероятность:
$P = \frac{24}{25}$

4. Чтобы перевести обыкновенную дробь в десятичную, умножим и числитель, и знаменатель на 4 (так как $25 \cdot 4 = 100$):
$\frac{24 \cdot 4}{25 \cdot 4} = \frac{96}{100} = 0{,}96$

Ответ: 0,96

Источник: ФИПИ

Решение.

Все представленные графики являются прямыми линиями, которые задаются формулой линейной функции $y = kx + b$. Чтобы соотнести графики с формулами, проанализируем коэффициенты $k$ и $b$:

• Коэффициент $k$ отвечает за наклон прямой: если $k > 0$, прямая возрастает (идёт снизу вверх); если $k < 0$, прямая убывает (идёт сверху вниз).
• Коэффициент $b$ — это ордината точки пересечения прямой с осью $Oy$. То есть прямая пересекает вертикальную ось в точке $(0; b)$.

1) Анализ формул:
1. $y = -\frac{2}{3}x + 4$: здесь $k = -\frac{2}{3}$ (убывает), $b = 4$ (пересекает $Oy$ в точке $4$).
2. $y = \frac{2}{3}x - 4$: здесь $k = \frac{2}{3}$ (возрастает), $b = -4$ (пересекает $Oy$ в точке $-4$).
3. $y = \frac{2}{3}x + 4$: здесь $k = \frac{2}{3}$ (возрастает), $b = 4$ (пересекает $Oy$ в точке $4$).

2) Сопоставление с графиками:
График А: Прямая возрастает ($k > 0$) и пересекает ось $Oy$ в отрицательной области, в точке $-4$. Это соответствует формуле №2.
График Б: Прямая возрастает ($k > 0$) и пересекает ось $Oy$ в положительной области, в точке $4$. Это соответствует формуле №3.
График В: Прямая убывает ($k < 0$) и пересекает ось $Oy$ в положительной области, в точке $4$. Это соответствует формуле №1.

Запишем полученное соответствие в таблицу:
А — 2
Б — 3
В — 1

Ответ: 231

Источник: ФИПИ

Решение.

Для решения задачи воспользуемся формулой силы Архимеда, данной в условии:
$F = \rho g V$

Выпишем значения всех величин, которые нам известны:
1) Плотность воды $\rho = 1000$ $кг/м^{3}$;
2) Ускорение свободного падения $g = 9,8$ $м/с^{2}$;
3) Объём тела $V = 0,02$ $м^{3}$.

Подставим эти значения в формулу:
$F = 1000 \cdot 9,8 \cdot 0,02$

Для удобства вычислений сначала перемножим $1000$ и $0,02$. При умножении на $1000$ запятая в десятичной дроби переносится на три знака вправо:
$1000 \cdot 0,02 = 20$

Теперь умножим полученный результат на $9,8$:
$F = 20 \cdot 9,8$

Чтобы умножить $20$ на $9,8$, можно сначала умножить $2$ на $9,8$, а затем результат увеличить в $10$ раз:
$2 \cdot 9,8 = 19,6$
$19,6 \cdot 10 = 196$

Таким образом, сила Архимеда равна $196$ ньютонам.

Ответ: 196

Источник: ФИПИ

Решение.

Для того чтобы найти решение системы неравенств, необходимо решить каждое неравенство по отдельности, а затем найти их общее решение (пересечение промежутков).

Дана система неравенств:
$\begin{cases} -35 + 5x < 0 \\ 6 - 3x < -18 \end{cases}$

1. Решим первое неравенство:
$-35 + 5x < 0$
Перенесём число $-35$ в правую часть неравенства, сменив знак на противоположный:
$5x < 35$
Разделим обе части на $5$:
$x < 7$

2. Решим второе неравенство:
$6 - 3x < -18$
Перенесём число $6$ в правую часть неравенства со знаком минус:
$-3x < -18 - 6$
$-3x < -24$
Разделим обе части на $-3$. Напомним, что при делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный:
$x > \frac{-24}{-3}$
$x > 8$

3. Найдём общее решение системы:
Мы получили условия: $x < 7$ и $x > 8$.
Изобразим эти условия на числовой прямой. Решением первого неравенства является промежуток левее числа $7$. Решением второго неравенства является промежуток правее числа $8$.
Так как эти промежутки не пересекаются (нет таких чисел, которые одновременно меньше $7$ и больше $8$), система неравенств не имеет решений.

Рассмотрим предложенные рисунки:
1) Изображено решение $x < 8$.
2) Изображено пустое множество решений (штриховка не пересекается или отсутствует область пересечения, на данном рисунке показано отсутствие общих точек для условий системы).
3) Изображён интервал $(7; 8)$.
4) Изображено решение $x > 7$.

Поскольку наша система не имеет решений, верным вариантом является тот, который соответствует отсутствию пересечения. В тестах ОГЭ при отсутствии решений выбирается соответствующий графический маркер (в данном случае вариант № 2).

Ответ: 2

Источник: ФИПИ

Решение.

Для решения задачи проанализируем условие. Расстояние, которое проезжает автомобиль за каждую секунду, уменьшается на одну и ту же величину. Это означает, что данные значения образуют арифметическую прогрессию.

1. Выпишем известные данные:
— Расстояние за первую секунду: $a_1 = 18$ м.
— Разность прогрессии (так как расстояние уменьшается): $d = -3$ м.
— Количество секунд (шагов): $n = 5$.
Нам нужно найти общее расстояние за 5 секунд, то есть сумму первых пяти членов прогрессии $S_5$.

2. Вспомним формулу суммы первых $n$ членов арифметической прогрессии:
$S_n = \frac{2a_1 + (n - 1)d}{2} \cdot n$

3. Подставим наши значения в формулу:
$S_5 = \frac{2 \cdot 18 + (5 - 1) \cdot (-3)}{2} \cdot 5$

4. Выполним вычисления по шагам:
— Сначала найдем значение в скобках: $5 - 1 = 4$.
— Умножим на разность: $4 \cdot (-3) = -12$.
— Вычислим удвоенный первый член: $2 \cdot 18 = 36$.
— Сложим результаты в числителе: $36 + (-12) = 24$.
— Разделим на 2: $24 : 2 = 12$.
— Умножим на количество секунд: $12 \cdot 5 = 60$.

Таким образом, за 5 секунд автомобиль проехал 60 метров.

Ответ: 60

Источник: ФИПИ

Решение.

Для решения задачи вспомним определение и формулу площади прямоугольного треугольника.

1. В прямоугольном треугольнике стороны, образующие прямой угол, называются катетами. На рисунке это стороны, прилежащие к углу, отмеченному квадратиком. По условию задачи длины катетов равны $a = 14$ и $b = 5$.

2. Площадь любого треугольника вычисляется как половина произведения его основания на высоту. В прямоугольном треугольнике один катет можно считать основанием, тогда второй катет будет являться высотой, так как они перпендикулярны друг другу.

3. Таким образом, формула площади прямоугольного треугольника через его катеты выглядит так: $S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b$

4. Подставим известные значения катетов в формулу: $S = \frac{1}{2} \cdot 14 \cdot 5$

5. Выполним вычисления: Сначала удобно умножить $\frac{1}{2}$ на $14$: $\frac{1}{2} \cdot 14 = 7$ Затем полученный результат умножим на второй катет: $7 \cdot 5 = 35$

Следовательно, площадь треугольника равна $35$.

Ответ: 35

Источник: ФИПИ

Решение.

1) Рассмотрим треугольник $A B C$. По условию угол $C = 90^\circ$, значит, данный треугольник является прямоугольным. Стороны $A C = 40$ и $B C = 9$ являются катетами, а сторона $A B$ — гипотенузой.

2) Вспомним важное свойство геометрии: центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника, лежит на середине его гипотенузы. Это означает, что гипотенуза $A B$ является диаметром этой окружности, а радиус $R$ равен половине гипотенузы: $R = \frac{A B}{2}$.

3) Найдем длину гипотенузы $A B$ по теореме Пифагора: $A B^2 = A C^2 + B C^2$. Подставим известные значения катетов: $A B^2 = 40^2 + 9^2 = 1600 + 81 = 1681$.

4) Вычислим корень из полученного числа: $A B = \sqrt{1681} = 41$.

5) Теперь найдем радиус описанной окружности, разделив гипотенузу пополам: $R = \frac{41}{2} = 20{,}5$.

Ответ: 20,5

Источник: ФИПИ

Решение.

Для решения задачи воспользуемся формулой площади параллелограмма: площадь равна произведению стороны на высоту, проведённую к этой стороне. Формула выглядит так: $S = a \cdot h_a$, где $a$ — сторона, а $h_a$ — высота, опущенная на неё.

По условию задачи нам известны площадь параллелограмма $S = 40$ и две его стороны: $a = 10$ и $b = 5$.

1) Найдём первую высоту $h_1$, проведённую к стороне $a = 10$:
$40 = 10 \cdot h_1$
$h_1 = 40 : 10$
$h_1 = 4$

2) Найдём вторую высоту $h_2$, проведённую к стороне $b = 5$:
$40 = 5 \cdot h_2$
$h_2 = 40 : 5$
$h_2 = 8$

3) Сравним полученные высоты: $4$ и $8$. В условии задачи требуется найти большую высоту. Очевидно, что $8 > 4$.

Заметим, что в параллелограмме большая высота всегда проведена к меньшей стороне, а меньшая высота — к большей стороне.

Ответ: 8

Источник: ФИПИ

Решение.

Для того чтобы найти, во сколько раз площадь большего круга больше площади меньшего, выполним следующие шаги:

1. Вспомним формулу площади круга: $S = \pi \cdot r^2$, где $r$ — радиус круга.

2. Определим радиусы кругов по клеткам на рисунке:
— Радиус меньшего круга $r_1$ равен $1$ клетке.
— Радиус большего круга $r_2$ равен $2$ клеткам.

3. Вычислим площади обоих кругов:
— Площадь меньшего круга: $S_1 = \pi \cdot 1^2 = \pi$.
— Площадь большего круга: $S_2 = \pi \cdot 2^2 = 4\pi$.

4. Чтобы узнать, во сколько раз площадь большего круга больше площади меньшего, разделим $S_2$ на $S_1$:
$\frac{S_2}{S_1} = \frac{4\pi}{\pi} = 4$.

Важное замечание: Отношение площадей подобных фигур (в данном случае кругов) равно квадрату коэффициента подобия. Так как радиус большего круга в $2$ раза больше радиуса меньшего, то его площадь будет больше в $2^2 = 4$ раза.

Ответ: 4

Источник: ФИПИ

Решение.

Разберём каждое утверждение по порядку, опираясь на геометрические правила и теоремы:

1) Один из углов треугольника всегда не превышает $60$ градусов.
Вспомним, что сумма всех углов любого треугольника равна $180^{\circ}$. Если предположить, что все три угла больше $60^{\circ}$, то их сумма окажется больше $180^{\circ}$ ($60 + 60 + 60 = 180$). Следовательно, хотя бы один угол обязан быть меньше или равен $60^{\circ}$, чтобы сумма оставалась верной. Это утверждение верно.

2) Средняя линия трапеции равна сумме её оснований.
Согласно теореме о средней линии трапеции, она равна полусумме оснований, то есть $m = \frac{a + b}{2}$. Утверждение о том, что она равна просто сумме, является ошибкой. Это утверждение неверно.

3) Касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведённому в точку касания.
Это одно из фундаментальных свойств касательной, изучаемое в курсе геометрии 7–9 классов. Угол между радиусом и касательной в точке их пересечения всегда составляет $90^{\circ}$. Это утверждение верно.

Таким образом, истинными являются утверждения под номерами 1 и 3.

Ответ: 13

Источник: ФИПИ