Вариант 4 · Июль 2026

Решение.

Для того чтобы найти значение выражения $\frac{8,2}{4,1}$, выполним деление десятичных дробей.

1. Чтобы избавиться от запятых в делителе и делимом, перенесём запятую в обоих числах на один знак вправо. Это равносильно умножению числителя и знаменателя дроби на $10$:
$\frac{8,2 \cdot 10}{4,1 \cdot 10} = \frac{82}{41}$

2. Теперь выполним деление целых чисел. Заметим, что число $82$ ровно в два раза больше числа $41$, так как:
$41 \cdot 2 = 82$

3. Следовательно:
$\frac{82}{41} = 2$

Ответ: 2

Источник: ФИПИ

Решение.

1. Проанализируем положение точки $A$ на числовой прямой. Мы видим, что точка $A$ находится между делениями $0,4$ и $0,5$. При этом она расположена очень близко к числу $0,5$, но чуть левее него.

2. Чтобы понять, какая из предложенных дробей соответствует этой точке, переведём обыкновенные дроби в десятичный вид (приблизительно), разделив числитель на знаменатель:

1) $\frac{6}{23} \approx 6 : 23 \approx 0,26$ (это число находится между $0,2$ и $0,3$, не подходит);
2) $\frac{7}{23} \approx 7 : 23 \approx 0,304$ (это число находится в самом начале интервала от $0,3$ до $0,4$, не подходит);
3) $\frac{11}{23} \approx 11 : 23 \approx 0,478$ (это число находится между $0,4$ и $0,5$, причём оно очень близко к $0,5$, что соответствует положению точки $A$);
4) $\frac{12}{23} \approx 12 : 23 \approx 0,521$ (это число больше $0,5$, оно должно быть правее отметки $0,5$, не подходит).

3. Сравним более точно дробь $\frac{11}{23}$ с числом $0,5$. Мы знаем, что $0,5 = \frac{1}{2} = \frac{11,5}{23}$.
Так как $11 < 11,5$, то $\frac{11}{23} < 0,5$.
При этом разница очень мала, значит, точка действительно находится почти у самой отметки $0,5$ слева.

Таким образом, точке $A$ соответствует число под номером 3.

Ответ: 3

Источник: ФИПИ

Решение.

Для решения данной задачи воспользуемся свойствами степеней и корней. Разберем выражение по шагам.

1. Сначала упростим выражение под знаком корня. Рассмотрим множитель $(-a)^{8}$. Так как показатель степени — четное число (8), то минус при возведении в степень исчезает:
$(-a)^{8} = a^{8}$.
Теперь наше выражение принимает вид: $\sqrt{a^{8} \cdot a^{2}}$.

2. При умножении степеней с одинаковыми основаниями их показатели складываются:
$a^{8} \cdot a^{2} = a^{8+2} = a^{10}$.
Таким образом, нам нужно найти значение выражения $\sqrt{a^{10}}$.

3. Вспомним свойство корня: $\sqrt{x^{2n}} = |x^{n}|$. Применяя это к нашему случаю, получаем:
$\sqrt{a^{10}} = |a^{5}|$.

4. Подставим в полученное упрощенное выражение значение $a = 2$:
$|2^{5}| = 2^{5}$.

5. Вычислим значение пятой степени числа 2:
$2^{5} = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 32$.

Ответ: 32

Источник: ФИПИ

Решение.

Перед нами неполное квадратное уравнение вида $4x^{2} = 20x$. Решим его по шагам.

Шаг 1. Перенос всех слагаемых в одну часть.
Для решения квадратного уравнения перенесём слагаемое $20x$ из правой части в левую с противоположным знаком, чтобы справа остался ноль:
$4x^{2} - 20x = 0$

Шаг 2. Разложение на множители.
Заметим, что в обоих слагаемых есть общий множитель. Мы можем вынести за скобки $4x$:
$4x \cdot (x - 5) = 0$

Шаг 3. Нахождение корней.
Произведение двух множителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из них равен нулю. Приравняем каждый множитель к нулю:
1) $4x = 0$, откуда $x = 0$.
2) $x - 5 = 0$, откуда $x = 5$.

Шаг 4. Выбор ответа.
Уравнение имеет два корня: $0$ и $5$. По условию задачи, если уравнение имеет более одного корня, в ответ необходимо записать меньший из них. Сравним полученные числа:
$0 < 5$, следовательно, меньший корень — это $0$.

Ответ: 0

Источник: ФИПИ

Решение.

Для решения задачи воспользуемся классическим определением вероятности: вероятность события равна отношению количества благоприятных исходов к общему количеству возможных исходов.

1) Сначала определим общее количество фонариков. По условию задачи их всего $80$. Это и будет общее число возможных исходов.

2) Нам нужно найти вероятность того, что фонарик окажется исправен. По условию из $80$ фонариков $4$ являются неисправными. Найдём количество исправных фонариков, вычтя из общего числа бракованные:
$80 - 4 = 76$.
Таким образом, количество благоприятных исходов равно $76$.

3) Теперь вычислим вероятность $P$, разделив количество исправных фонариков на общее количество фонариков в партии:
$P = \frac{76}{80}$.

4) Сократим полученную дробь на $4$:
$\frac{76}{80} = \frac{19}{20}$.

5) Для записи ответа переведём обыкновенную дробь в десятичную. Для этого умножим и числитель, и знаменатель на $5$:
$\frac{19 \cdot 5}{20 \cdot 5} = \frac{95}{100} = 0,95$.

Ответ: 0,95

Источник: ФИПИ

Решение.

Для того чтобы соотнести графики с формулами, проанализируем вид каждой функции и характерные черты её графика.

1) Рассмотрим формулу $y = - \frac{1}{x}$.
Это функция обратной пропорциональности. Графиком такой функции является гипербола, состоящая из двух ветвей. Так как перед дробью стоит знак «минус», ветви гиперболы расположены во второй и четвёртой четвертях координатной плоскости. На рисунках гипербола изображена под буквой Б.

2) Рассмотрим формулу $y = 4 - x^{2}$.
Это квадратичная функция. Графиком является парабола. Так как коэффициент при $x^{2}$ отрицательный ($-1$), ветви параболы направлены вниз. Вершина параболы находится в точке $(0; 4)$. Такой график мы видим на рисунке под буквой В.

3) Рассмотрим формулу $y = 2x + 4$.
Это линейная функция. Графиком является прямая. Коэффициент $k = 2$ (положительный), значит, прямая возрастает. Свободный член $b = 4$ показывает, что прямая пересекает ось $Oy$ в точке $(0; 4)$. Этот график соответствует рисунку под буквой А.

Таким образом, получаем следующее соответствие:
А — 3 (прямая)
Б — 1 (гипербола)
В — 2 (парабола)

Ответ: 312

Источник: ФИПИ

Решение.

Для решения задачи нам необходимо вычислить стоимость колодца $C$, используя предложенную формулу: $C = 6000 + 4100n$.

Шаг 1. Определим значения переменных, данных в условии.
По условию задачи нам нужно рассчитать стоимость колодца из 9 колец. Значит, число колец $n = 9$.

Шаг 2. Подставим значение $n = 9$ в формулу:
$C = 6000 + 4100 \cdot 9$

Шаг 3. Выполним вычисления по порядку действий. Сначала выполняется умножение, затем — сложение.
1) Умножаем стоимость одного кольца на их количество:
$4100 \cdot 9 = 36900$ (рублей).
2) Прибавляем фиксированную стоимость (начальные затраты):
$6000 + 36900 = 42900$ (рублей).

Таким образом, общая стоимость колодца из 9 колец составит 42900 рублей.

Ответ: 42900

Источник: ФИПИ

Решение.

Для того чтобы решить неравенство $25x^2 > 49$, выполним следующие шаги:

1. Перенесём все слагаемые в левую часть неравенства, чтобы справа остался ноль:
$25x^2 - 49 > 0$

2. Разложим левую часть на множители, используя формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$. Заметим, что $25x^2 = (5x)^2$, а $49 = 7^2$:
$(5x - 7)(5x + 7) > 0$

3. Найдём корни соответствующего уравнения $(5x - 7)(5x + 7) = 0$. Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю:
$5x - 7 = 0 \Rightarrow 5x = 7 \Rightarrow x = 1,4$
$5x + 7 = 0 \Rightarrow 5x = -7 \Rightarrow x = -1,4$

4. Эти точки делят числовую прямую на три интервала: $(-\infty; -1,4)$, $(-1,4; 1,4)$ и $(1,4; +\infty)$. Так как коэффициент при $x^2$ положителен ($25 > 0$), ветви параболы направлены вверх. Значит, выражение принимает положительные значения на крайних промежутках.

5. Проверим знаки на интервалах подстановкой:
— Если $x = 0$ (из интервала $(-1,4; 1,4)$), то $25 \cdot 0^2 - 49 = -49$. Это меньше нуля, интервал не подходит.
— Если $x = 2$ (из интервала $(1,4; +\infty)$), то $25 \cdot 4 - 49 = 51$. Это больше нуля, интервал подходит.
— Если $x = -2$ (из интервала $(-\infty; -1,4)$), то $25 \cdot (-2)^2 - 49 = 51$. Это больше нуля, интервал подходит.

Таким образом, решением неравенства является объединение промежутков $(-\infty; -1,4) \cup (1,4; +\infty)$. Это соответствует варианту № 2.

Ответ: 2

Источник: ФИПИ

Решение.

Для решения задачи воспользуемся знаниями об арифметической прогрессии, так как количество мест в каждом следующем ряду увеличивается на одно и то же число.

1. Выпишем данные из условия задачи:
— Количество мест в первом ряду: $a_1 = 25$.
— Разность прогрессии (на сколько мест в каждом следующем ряду больше): $d = 3$.
— Нам нужно найти количество мест в восьмом ряду, то есть восьмой член прогрессии: $a_8$.

2. Вспомним формулу $n$-го члена арифметической прогрессии:
$a_n = a_1 + d \cdot (n - 1)$

3. Подставим наши значения в формулу для нахождения $a_8$ (где $n = 8$):
$a_8 = 25 + 3 \cdot (8 - 1)$

4. Выполним вычисления по порядку:
— Сначала действие в скобках: $8 - 1 = 7$.
— Затем умножение: $3 \cdot 7 = 21$.
— И, наконец, сложение: $25 + 21 = 46$.

Таким образом, в восьмом ряду амфитеатра 46 мест.

Ответ: 46

Источник: ФИПИ

Решение.

Для решения этой задачи воспользуемся одной из основных формул нахождения площади треугольника. Если нам известны длины двух сторон треугольника и синус угла между ними, то площадь $S$ вычисляется по формуле:
$S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot \sin \gamma$,
где $a$ и $b$ — стороны треугольника, а $\gamma$ — угол между ними.

В нашей задаче даны:
1) Сторона $AB = 16$;
2) Сторона $BC = 25$;
3) Синус угла между ними: $\sin \angle ABC = \frac{3}{10}$.

Подставим эти значения в формулу площади:
$S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot BC \cdot \sin \angle ABC$
$S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot 16 \cdot 25 \cdot \frac{3}{10}$

Выполним вычисления по шагам:
1) Сначала перемножим целые числа и дробь: $\frac{1}{2} \cdot 16 = 8$.
2) Теперь подставим результат: $8 \cdot 25 \cdot \frac{3}{10}$.
3) Вычислим произведение $8 \cdot 25 = 200$.
4) Осталось умножить $200$ на $\frac{3}{10}$:
$S_{ABC} = \frac{200 \cdot 3}{10} = \frac{600}{10} = 60$.

Таким образом, площадь треугольника $ABC$ равна $60$.

Ответ: 60

Источник: ФИПИ

Решение.

Для решения этой задачи воспользуемся свойствами углов в окружности.

1. Рассмотрим угол $A O B$. Его вершина находится в центре окружности (точке $O$), а стороны пересекают окружность в точках $A$ и $B$. Такой угол называется центральным. По условию задачи $\angle A O B = 73^\circ$. Известно, что величина центрального угла равна градусной мере дуги, на которую он опирается. Значит, дуга $A B$, не содержащая точку $C$, равна $73^\circ$.

2. Теперь рассмотрим угол $A C B$. Его вершина $C$ лежит на окружности, а стороны пересекают окружность в точках $A$ и $B$. Такой угол называется вписанным.

3. В условии сказано, что точки $O$ и $C$ лежат в одной полуплоскости относительно прямой $A B$. Это означает, что вписанный угол $A C B$ опирается на ту же самую дугу $A B$, что и центральный угол $A O B$.

4. По теореме о вписанном угле: вписанный угол равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу. Следовательно:
$\angle A C B = \frac{1}{2} \cdot \angle A O B$

5. Подставим известное значение:
$\angle A C B = \frac{73^\circ}{2} = 36,5^\circ$

Ответ: 36,5

Источник: ФИПИ

Решение.

1) Рассмотрим свойства равнобедренной трапеции. По условию трапеция $ABCD$ является равнобедренной ($AB = CD$). Одно из главных свойств такой трапеции заключается в том, что углы при каждом основании равны. Следовательно, угол при основании $AD$ равен углу $D$:
$\angle A = \angle D = 83^{\circ}$.

2) Угол $A$ трапеции состоит из двух частей: угла $BAC$, образованного боковой стороной и диагональю, и угла $CAD$, образованного диагональю и большим основанием. По условию $\angle BAC = 37^{\circ}$. Найдём угол $CAD$:
$\angle CAD = \angle A - \angle BAC = 83^{\circ} - 37^{\circ} = 46^{\circ}$.

3) Теперь вспомним свойство параллельных прямых. Основания трапеции $BC$ и $AD$ параллельны. Диагональ $AC$ является секущей для этих параллельных прямых.
Углы $BCA$ и $CAD$ являются накрест лежащими при параллельных прямых $BC$ и $AD$ и секущей $AC$. По теореме о накрест лежащих углах:
$\angle BCA = \angle CAD$.

4) Таким образом, угол между диагональю $AC$ и меньшим основанием $BC$ равен:
$\angle BCA = 46^{\circ}$.

Ответ: 46

Источник: ФИПИ

Решение.

1. Вспомним определение и свойство средней линии треугольника. Средняя линия треугольника — это отрезок, соединяющий середины двух его сторон. По свойству средней линии, она параллельна третьей стороне треугольника и равна её половине.

2. В задаче требуется найти длину средней линии, параллельной стороне $A C$. Обозначим длину этой средней линии как $m$. Согласно свойству:
$m = \frac{1}{2} \cdot AC$.

3. Определим длину стороны $A C$ по рисунку. Сторона $A C$ расположена горизонтально на сетке. Посчитаем количество клеток между точками $A$ и $C$. Мы видим, что отрезок $A C$ занимает $6$ полных клеток. Так как размер клетки составляет $1 \times 1$, то длина стороны $A C = 6$.

4. Теперь вычислим длину средней линии:
$m = \frac{6}{2} = 3$.

Ответ: 3

Источник: ФИПИ

Решение.

Разберём каждое утверждение по порядку, чтобы определить его истинность или ложность:

1) «Площадь трапеции равна произведению основания трапеции на высоту».
Это утверждение неверно. Согласно формуле, площадь трапеции равна произведению полусуммы её оснований на высоту: $S = \frac{a + b}{2} \cdot h$. Произведение одного основания на высоту не является универсальной формулой для площади любой трапеции.

2) «Две окружности пересекаются, если радиус одной из них больше радиуса другой».
Это утверждение неверно. Факт пересечения окружностей зависит не только от их радиусов, но и от расстояния между их центрами. Например, две окружности с разными радиусами могут находиться очень далеко друг от друга и не иметь общих точек, либо одна окружность может лежать внутри другой без касания.

3) «Существует прямоугольник, диагонали которого взаимно перпендикулярны».
Это утверждение верно. Вспомним определение квадрата: квадрат — это прямоугольник, у которого все стороны равны. Одним из свойств квадрата является перпендикулярность его диагоналей. Поскольку квадрат является частным случаем прямоугольника, такой прямоугольник действительно существует.

Таким образом, истинным является только третье утверждение.

Ответ: 3

Источник: ФИПИ