Вариант 5 · Июль 2026

Решение.

Для того чтобы найти значение данного выражения, выполним деление обыкновенных дробей по шагам.

Шаг 1. Вспомним правило деления дробей: чтобы разделить одну дробь на другую, нужно первую дробь умножить на дробь, обратную второй (то есть "перевернуть" вторую дробь).
$\frac{4}{5} : \frac{2}{7} = \frac{4}{5} \cdot \frac{7}{2}$

Шаг 2. Выполним умножение дробей. Для этого перемножим числители и знаменатели:
$\frac{4 \cdot 7}{5 \cdot 2} = \frac{28}{10}$

Шаг 3. Полученную дробь $\frac{28}{10}$ удобно перевести в десятичный вид. Так как в знаменателе стоит число $10$, мы просто отделяем одну цифру запятой справа:
$\frac{28}{10} = 2,8$

Ответ: 2,8

Источник: ФИПИ

Решение.

Чтобы определить, какое из данных чисел принадлежит отрезку $[5; 6]$, нам нужно перевести эти обыкновенные дроби в смешанные числа или десятичные дроби, выделив целую часть.

Шаг 1. Проверим первое число $\frac{68}{13}$.
Разделим $68$ на $13$ с остатком. Мы знаем, что $13 \cdot 5 = 65$.
Следовательно, $\frac{68}{13} = 5 \frac{3}{13}$.
Так как $5 \frac{3}{13}$ больше $5$, но меньше $6$, это число попадает в заданный отрезок $[5; 6]$.

Шаг 2. Для уверенности проверим остальные варианты, чтобы убедиться, что они не подходят.

Проверим второе число $\frac{79}{13}$:
Разделим $79$ на $13$. Мы знаем, что $13 \cdot 6 = 78$.
Следовательно, $\frac{79}{13} = 6 \frac{1}{13}$.
Это число больше $6$, значит, оно не принадлежит отрезку $[5; 6]$.

Шаг 3. Проверим третье число $\frac{82}{13}$:
Так как $82 > 79$, а $\frac{79}{13}$ уже больше $6$, то и $\frac{82}{13}$ будет больше $6$.
$\frac{82}{13} = 6 \frac{4}{13}$.

Шаг 4. Проверим четвёртое число $\frac{89}{13}$:
Аналогично, $89 > 79$, значит $\frac{89}{13}$ также больше $6$.
$\frac{89}{13} = 6 \frac{11}{13}$.

Таким образом, только число $\frac{68}{13}$ находится в границах от $5$ до $6$. Это соответствует варианту номер 1.

Ответ: 1

Источник: ФИПИ

Решение.

Для решения данной задачи воспользуемся свойствами квадратного корня и степеней. Нам нужно найти значение выражения $\sqrt{\frac{1}{9} \cdot x^{4} y^{10}}$ при заданных значениях переменных.

Шаг 1. Упростим выражение под корнем.
Вспомним свойство корня из произведения: корень из произведения нескольких множителей равен произведению корней из этих множителей (если они неотрицательны).
$\sqrt{\frac{1}{9} \cdot x^{4} y^{10}} = \sqrt{\frac{1}{9}} \cdot \sqrt{x^{4}} \cdot \sqrt{y^{10}}$

Шаг 2. Извлечём корни из каждого множителя.
1) $\sqrt{\frac{1}{9}} = \frac{1}{3}$, так как $(\frac{1}{3})^{2} = \frac{1}{9}$.
2) Чтобы извлечь корень из степени, нужно показатель степени разделить на 2: $\sqrt{x^{4}} = x^{4:2} = x^{2}$.
3) Аналогично для $y$: $\sqrt{y^{10}} = y^{10:2} = y^{5}$.
Таким образом, наше выражение принимает вид: $\frac{1}{3} \cdot x^{2} \cdot y^{5}$.

Шаг 3. Подставим числовые значения $x = 3$ и $y = 2$.
Подставляем значения в упрощённое выражение:
$\frac{1}{3} \cdot 3^{2} \cdot 2^{5}$

Шаг 4. Выполним вычисления.
1) Возведём числа в степени: $3^{2} = 9$, а $2^{5} = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 32$.
2) Перемножим полученные результаты: $\frac{1}{3} \cdot 9 \cdot 32$.
3) Сначала удобно умножить $\frac{1}{3}$ на $9$: $\frac{1}{3} \cdot 9 = 3$.
4) Теперь умножим $3$ на $32$: $3 \cdot 32 = 96$.

Ответ: 96

Источник: ФИПИ

Решение.

Для решения уравнения $x^{2} - 81 = 0$ воспользуемся методом разложения на множители или методом извлечения квадратного корня.

Способ 1: Разложение на множители.
Заметим, что число $81$ — это $9^{2}$. Уравнение принимает вид:
$x^{2} - 9^{2} = 0$.
Применим формулу разности квадратов $a^{2} - b^{2} = (a - b)(a + b)$:
$(x - 9)(x + 9) = 0$.
Произведение двух множителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из них равен нулю. Приравняем каждую скобку к нулю:
1) $x - 9 = 0 \Rightarrow x_{1} = 9$;
2) $x + 9 = 0 \Rightarrow x_{2} = -9$.

Способ 2: Перенос слагаемого.
Перенесём число $-81$ в правую часть уравнения с противоположным знаком:
$x^{2} = 81$.
Корнями данного уравнения являются числа, квадрат которых равен $81$:
$x = \pm \sqrt{81}$;
$x_{1} = 9$, $x_{2} = -9$.

Выбор ответа:
Уравнение имеет два корня: $9$ и $-9$. По условию задачи, если уравнение имеет более одного корня, в ответ необходимо записать меньший из них. Сравним полученные числа:
$-9 < 9$.
Следовательно, меньшим корнем является $-9$.

Ответ: -9

Источник: ФИПИ

Решение.

Для решения задачи воспользуемся классическим определением вероятности: вероятность события равна отношению количества благоприятных исходов к общему количеству возможных исходов.

1. Сначала определим общее количество ручек в магазине. По условию задачи оно уже известно: $n = 120$. Это и есть общее число возможных исходов.

2. Теперь определим количество благоприятных исходов. Нас интересует событие, при котором выбранная ручка будет либо красной, либо фиолетовой.
Количество красных ручек: $32$.
Количество фиолетовых ручек: $46$.
Чтобы найти общее количество благоприятных исходов ($m$), нужно сложить количество красных и фиолетовых ручек:
$m = 32 + 46 = 78$.

3. Вычислим вероятность $P$, разделив число благоприятных исходов на общее число ручек:
$P = \frac{m}{n} = \frac{78}{120}$.

4. Сократим полученную дробь. Сначала можно сократить на $6$:
$78 : 6 = 13$,
$120 : 6 = 20$.
Получаем дробь $\frac{13}{20}$.

5. Переведём дробь в десятичный вид. Для этого умножим и числитель, и знаменатель на $5$:
$\frac{13 \cdot 5}{20 \cdot 5} = \frac{65}{100} = 0,65$.

Ответ: 0,65

Источник: ФИПИ

Решение. Для того чтобы установить соответствие между графиками и формулами, проанализируем вид каждой функции и характерные точки её графика.

1) Рассмотрим формулу $y = \frac{1}{2} x$. Это линейная функция вида $y = kx$, графиком которой является прямая, проходящая через начало координат $(0; 0)$. Если $x = 2$, то $y = \frac{1}{2} \cdot 2 = 1$. Прямая проходит через точку $(2; 1)$. На рисунке А изображена именно такая прямая. Следовательно, А → 1.

2) Рассмотрим формулу $y = 2 - x^{2}$. Это квадратичная функция, графиком которой является парабола. Так как коэффициент при $x^{2}$ отрицательный ($-1$), ветви параболы направлены вниз. При $x = 0$ значение $y = 2 - 0^{2} = 2$, то есть вершина параболы находится в точке $(0; 2)$. На рисунке В изображена парабола с ветвями вниз и вершиной в точке $(0; 2)$. Следовательно, В → 2.

3) Рассмотрим формулу $y = \sqrt{x}$. Это функция квадратного корня. Она определена только для $x \ge 0$, и её значения $y$ также всегда неотрицательны. График представляет собой ветвь параболы, «лежащую» на боку в первой четверти. Проверим точку: если $x = 1$, то $y = \sqrt{1} = 1$; если $x = 4$, то $y = \sqrt{4} = 2$. На рисунке Б изображён график, соответствующий этому описанию. Следовательно, Б → 3.

Запишем полученное соответствие в таблицу:
А — 1
Б — 3
В — 2

Ответ: 132

Источник: ФИПИ

Решение.

Для решения задачи воспользуемся данной в условии формулой перевода температуры из шкалы Цельсия в шкалу Фаренгейта:
$t_{F} = 1,8 t_{C} + 32$.

По условию нам известно значение температуры по шкале Цельсия:
$t_{C} = 90$.

Чтобы найти соответствующее значение по шкале Фаренгейта ($t_{F}$), подставим известное число в формулу:

1) Сначала выполним умножение:
$1,8 \cdot 90 = 18 \cdot 9 = 162$.

2) Теперь к полученному результату прибавим число 32:
$162 + 32 = 194$.

Таким образом, 90 градусов по шкале Цельсия соответствуют 194 градусам по шкале Фаренгейта.

Ответ: 194

Источник: ФИПИ

Решение.

Для того чтобы решить линейное неравенство $-3 - 3x < 7x - 9$, воспользуемся стандартным алгоритмом: перенесём слагаемые с переменной $x$ в одну сторону, а числа — в другую.

1. Перенесём $7x$ из правой части в левую с противоположным знаком, а число $-3$ из левой части в правую также с противоположным знаком:
$-3x - 7x < -9 + 3$

2. Приведём подобные слагаемые в обеих частях неравенства:
$-10x < -6$

3. Теперь нам нужно найти $x$. Для этого разделим обе части неравенства на коэффициент перед $x$, то есть на $-10$.
Важное правило: при делении или умножении неравенства на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный (был $<$, станет $>$):
$x > \frac{-6}{-10}$

4. Выполним деление и переведём дробь в десятичный вид:
$x > 0,6$

5. Полученное решение $x > 0,6$ можно записать в виде числового промежутка. Так как знак неравенства строгий, число $0,6$ не входит в решение, и мы используем круглую скобку:
$(0,6; +\infty)$

Данный промежуток соответствует варианту под номером 3.

Ответ: 3

Источник: ФИПИ

Решение.

Разберем условие задачи. Расстояния, которые автомобиль проезжает за каждую секунду, уменьшаются на одно и то же число. Это означает, что перед нами арифметическая прогрессия.

Выпишем известные данные:
1. Расстояние за первую секунду: $a_1 = 12$ м.
2. Разность прогрессии (так как расстояние уменьшается): $d = -3$ м/с.
3. Автомобиль движется до полной остановки. Это значит, что в последнюю секунду движения он пройдет какое-то положительное расстояние, а в следующую за ней теоретическую секунду его скорость (и пройденный путь) станет равной или меньше нуля. Найдем количество секунд $n$, в течение которых автомобиль двигался.

Для этого воспользуемся формулой $n$-го члена арифметической прогрессии: $a_n = a_1 + d(n - 1)$.
Так как автомобиль останавливается, последний член прогрессии $a_n$ должен быть последним положительным числом в этой последовательности. Проверим, когда $a_n > 0$:
$12 + (-3)(n - 1) > 0$
$12 - 3n + 3 > 0$
$15 - 3n > 0$
$3n < 15$
$n < 5$

Это означает, что автомобиль двигался полные 4 секунды, а на 5-й секунде его скорость стала бы равной нулю ($a_5 = 12 - 3(5-1) = 0$). Таким образом, процесс торможения занял время до момента, когда пройденный за секунду путь стал равен 0. Мы можем считать $n = 5$ (включая последнюю секунду, где путь равен 0) или $n = 4$. Результат суммы будет одинаковым.

Найдем сумму всех пройденных отрезков пути за эти секунды. Воспользуемся формулой суммы первых $n$ членов арифметической прогрессии:
$S_n = \frac{2a_1 + d(n - 1)}{2} \cdot n$

Подставим значения для $n = 5$ (до полной остановки):
$S_5 = \frac{2 \cdot 12 + (-3)(5 - 1)}{2} \cdot 5$
$S_5 = \frac{24 - 12}{2} \cdot 5$
$S_5 = \frac{12}{2} \cdot 5$
$S_5 = 6 \cdot 5 = 30$

Таким образом, до полной остановки автомобиль прошел 30 метров.

Ответ: 30

Источник: ФИПИ

Решение.

1. Вспомним свойства равностороннего треугольника. В таком треугольнике все стороны равны, а все углы составляют $60^{\circ}$. Биссектриса, проведённая к стороне, также является медианой и высотой.

2. Пусть сторона равностороннего треугольника равна $a$. Биссектриса (она же высота) делит треугольник на два равных прямоугольных треугольника. Рассмотрим один из них.

3. В этом прямоугольном треугольнике:
— гипотенуза равна стороне исходного треугольника, то есть $a$;
— один из катетов — это биссектриса, равная $11 \sqrt{3}$;
— угол, противолежащий этому катету, равен $60^{\circ}$ (так как это угол равностороннего треугольника).

4. Воспользуемся определением синуса угла: синус угла равен отношению противолежащего катета к гипотенузе.
$\sin 60^{\circ} = \frac{11 \sqrt{3}}{a}$

5. Мы знаем, что $\sin 60^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2}$. Подставим это значение в уравнение:
$\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{11 \sqrt{3}}{a}$

6. Выразим сторону $a$, используя свойство пропорции (перемножим крест-накрест):
$a \cdot \sqrt{3} = 2 \cdot 11 \sqrt{3}$
$a \cdot \sqrt{3} = 22 \sqrt{3}$

7. Разделим обе части уравнения на $\sqrt{3}$:
$a = 22$

Таким образом, сторона треугольника равна $22$.

Ответ: 22

Источник: ФИПИ

Решение.

1) Рассмотрим треугольник $BOC$. Точка $O$ является центром окружности, а отрезки $OB$ и $OC$ — её радиусами. Так как все радиусы одной окружности равны, то $OB = OC$. Следовательно, треугольник $BOC$ является равнобедренным с основанием $BC$.

2) В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Значит, $\angle OBC = \angle OCB$. По условию задачи $\angle ACB = 74^\circ$, что и есть $\angle OCB$. Таким образом, $\angle OBC = 74^\circ$.

3) Сумма углов в любом треугольнике равна $180^\circ$. Найдём угол $BOC$ при вершине треугольника:
$\angle BOC = 180^\circ - (\angle OBC + \angle OCB) = 180^\circ - (74^\circ + 74^\circ) = 180^\circ - 148^\circ = 32^\circ$.

4) Отрезки $AC$ и $BD$ являются диаметрами и пересекаются в точке $O$. Углы $AOD$ и $BOC$ являются вертикальными. По свойству вертикальных углов они равны между собой:
$\angle AOD = \angle BOC = 32^\circ$.

Ответ: 32

Источник: ФИПИ

Решение.

Для решения этой задачи воспользуемся свойствами параллелограмма:

1. В параллелограмме противоположные углы равны, а углы, прилежащие к одной стороне, в сумме составляют $180^\circ$. Это происходит потому, что такие углы являются односторонними при параллельных прямых (основаниях параллелограмма) и секущей (боковой стороне).

2. Нам известно, что один из углов равен $96^\circ$. Так как этот угол больше $90^\circ$, он является тупым.

3. Обозначим искомый меньший угол (острый угол) параллелограмма как $x$. Тогда, согласно свойству о сумме углов, прилежащих к одной стороне, составим уравнение:
$x + 96^\circ = 180^\circ$

4. Выразим $x$, вычтя из общей суммы известный угол:
$x = 180^\circ - 96^\circ$
$x = 84^\circ$

5. Таким образом, в данном параллелограмме два угла равны $96^\circ$ и два угла равны $84^\circ$. Меньшим из них является угол $84^\circ$.

Ответ: 84

Источник: ФИПИ

Решение.

Чтобы найти длину отрезка $AB$ на клетчатой бумаге, удобнее всего воспользоваться теоремой Пифагора. Для этого достроим отрезок $AB$ до прямоугольного треугольника так, чтобы $AB$ был его гипотенузой, а катеты шли по линиям сетки.

1. Сначала определим расстояние между точками $A$ и $B$ по горизонтали. Если мысленно провести вертикальную линию через точку $A$ и горизонтальную через точку $B$, то расстояние по горизонтали (горизонтальный катет) составит $3$ клетки.

2. Теперь определим расстояние между точками по вертикали. Расстояние от уровня точки $A$ до уровня точки $B$ (вертикальный катет) составляет $4$ клетки.

3. Таким образом, мы получили прямоугольный треугольник с катетами $a = 3$ и $b = 4$. Гипотенуза этого треугольника и есть искомый отрезок $AB$.

4. Воспользуемся теоремой Пифагора: квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.
$AB^2 = a^2 + b^2$

5. Подставим значения катетов в формулу:
$AB^2 = 3^2 + 4^2$
$AB^2 = 9 + 16$
$AB^2 = 25$

6. Найдём длину отрезка $AB$, извлекая корень из полученного числа:
$AB = \sqrt{25} = 5$

Так как размер клетки составляет $1 \times 1$, длина отрезка равна $5$.

Ответ: 5

Источник: ФИПИ

Решение.

Разберём каждое утверждение по порядку, чтобы определить его истинность или ложность.

1) «Боковые стороны любой трапеции равны».
Это утверждение неверно. Трапеция, у которой боковые стороны равны, называется равнобедренной. Однако существуют и другие виды трапеций, например, прямоугольные или произвольные, у которых боковые стороны имеют разную длину.

2) «Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в точке, являющейся центром описанной около треугольника окружности».
Это утверждение верно. Согласно школьному курсу геометрии, точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника равноудалена от всех его вершин. Именно поэтому она является центром окружности, проходящей через все три вершины треугольника (описанной окружности).

3) «Если две стороны и угол одного треугольника равны соответственно двум сторонам и углу другого треугольника, то такие треугольники равны».
Это утверждение неверно из-за неточности в формулировке. Согласно первому признаку равенства треугольников, угол обязательно должен быть между этими сторонами. Если угол лежит не между равными сторонами, треугольники могут не быть равными.

Таким образом, истинным является только второе утверждение.

Ответ: 2

Источник: ФИПИ