Вариант 6 · Июль 2026

Решение.

Для того чтобы сложить две обыкновенные дроби, их необходимо привести к общему знаменателю. В данном случае знаменатели равны $2$ и $50$.

1. Найдём общий знаменатель. Число $50$ делится на $2$ без остатка, поэтому общим знаменателем будет $50$.
Для первой дроби $\frac{1}{2}$ дополнительный множитель равен $50 : 2 = 25$.
Для второй дроби $\frac{33}{50}$ дополнительный множитель равен $1$.

2. Приведём дроби к общему знаменателю и выполним сложение:
$\frac{1 \cdot 25}{2 \cdot 25} + \frac{33}{50} = \frac{25}{50} + \frac{33}{50} = \frac{25 + 33}{50} = \frac{58}{50}$.

3. Теперь переведём полученную обыкновенную дробь в десятичную. Для этого можно либо разделить числитель на знаменатель в столбик, либо домножить и числитель, и знаменатель на $2$, чтобы в знаменателе получилось число $100$:
$\frac{58 \cdot 2}{50 \cdot 2} = \frac{116}{100}$.

4. Запишем результат в виде десятичной дроби:
$\frac{116}{100} = 1,16$.

Ответ: 1,16

Источник: ФИПИ

Решение.

1. Сначала определим координаты точки $A$ на числовой прямой. Посчитаем деления от нуля: точка $A$ находится на шестом делении справа от нуля. Таким образом, координата точки $A$ примерно равна $6$. Если присмотреться внимательнее, точка $A$ расположена чуть правее отметки $6$.

2. Чтобы понять, какое из данных чисел соответствует этой точке, представим каждую дробь в виде смешанного числа (выделим целую часть):

1) $\frac{71}{15} = 4\frac{11}{15}$. Это число находится между $4$ и $5$. Оно нам не подходит.
2) $\frac{79}{15} = 5\frac{4}{15}$. Это число находится чуть правее $5$. Оно нам не подходит.
3) $\frac{86}{15} = 5\frac{11}{15}$. Это число ближе к $6$, но всё ещё меньше $6$. Оно нам не подходит.
4) $\frac{92}{15} = 6\frac{2}{15}$. Это число чуть больше $6$.

3. Сравним полученные результаты с рисунком. Точка $A$ расположена сразу после шестого деления. Этому условию удовлетворяет только число $\frac{92}{15}$, так как $6\frac{2}{15}$ — это число, которое лишь немного превышает $6$.

Таким образом, точке $A$ соответствует вариант под номером 4.

Ответ: 4

Источник: ФИПИ

Решение. Для решения данного выражения воспользуемся основными свойствами степеней с одинаковыми основаниями.

Шаг 1. Сначала выполним умножение в числителе дроби: $7^{-3} \cdot 7^{13}$. При умножении степеней с одинаковыми основаниями показатели складываются: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$. Получаем: $7^{-3} \cdot 7^{13} = 7^{-3 + 13} = 7^{10}$.

Шаг 2. Теперь подставим полученный результат в исходную дробь: $\frac{7^{10}}{7^{8}}$. Черта дроби означает деление. При делении степеней с одинаковыми основаниями показатели вычитаются: $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$. Получаем: $\frac{7^{10}}{7^{8}} = 7^{10 - 8} = 7^{2}$.

Шаг 3. Вычислим значение полученной степени: $7^{2} = 7 \cdot 7 = 49$.

Ответ: 49

Источник: ФИПИ

Решение.

Для решения уравнения $x^{2} - 4 = 0$ воспользуемся методом разложения на множители или методом извлечения квадратного корня.

Способ 1. Разложение на множители.
Заметим, что в левой части уравнения стоит разность квадратов, так как $4 = 2^{2}$. Применим формулу $a^{2} - b^{2} = (a - b)(a + b)$:
$(x - 2)(x + 2) = 0$

Произведение двух множителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из них равен нулю. Приравняем каждый множитель к нулю:
1) $x - 2 = 0$, откуда $x_{1} = 2$;
2) $x + 2 = 0$, откуда $x_{2} = -2$.

Способ 2. Извлечение корня.
Перенесем число $-4$ в правую часть уравнения, сменив знак на противоположный:
$x^{2} = 4$
Корнями данного уравнения являются числа, квадрат которых равен $4$:
$x = \pm\sqrt{4}$
$x_{1} = 2$, $x_{2} = -2$.

Уравнение имеет два корня: $2$ и $-2$. По условию задачи, если уравнение имеет более одного корня, в ответ необходимо записать меньший из них.
Сравним полученные числа: $-2 < 2$. Следовательно, меньшим корнем является $-2$.

Ответ: -2

Источник: ФИПИ

Решение.

Для решения этой задачи воспользуемся классическим определением вероятности. Вероятность события равна отношению количества благоприятных исходов к общему количеству возможных исходов.

1. Сначала определим общее количество машин, которые могут приехать к заказчику. По условию задачи свободно 10 машин: $1$ чёрная, $1$ жёлтая и $8$ зелёных.
Значит, общее число исходов $n = 10$.

2. Теперь определим количество благоприятных исходов. Нас интересует событие, при котором приедет именно жёлтое такси. Так как в фирме сейчас свободна только $1$ жёлтая машина, то количество благоприятных исходов $m = 1$.

3. Вычислим вероятность $P$ по формуле:
$P = \frac{m}{n}$

Подставим наши значения:
$P = \frac{1}{10}$

4. Переведём обыкновенную дробь в десятичную:
$\frac{1}{10} = 0,1$

Таким образом, вероятность того, что к заказчику приедет жёлтое такси, составляет $0,1$.

Ответ: 0,1

Источник: ФИПИ

Решение.

Для решения данной задачи вспомним, за что отвечают коэффициенты $a$ и $c$ в уравнении квадратичной функции $y = ax^{2} + bx + c$:
1) Коэффициент $a$ определяет направление ветвей параболы. Если $a > 0$, ветви направлены вверх. Если $a < 0$, ветви направлены вниз.
2) Коэффициент $c$ — это ордината точки пересечения параболы с осью $Oy$. То есть это значение $y$ в точке, где график пересекает вертикальную ось. Если точка пересечения лежит выше оси $Ox$, то $c > 0$. Если ниже — то $c < 0$.

Проанализируем каждый график:

График А (Рисунок 1):
— Ветви параболы направлены вверх, значит, $a > 0$.
— Парабола пересекает ось $Oy$ выше оси $Ox$, значит, $c > 0$.
Этим условиям соответствует вариант №3 ($a > 0$, $c > 0$).

График Б (Рисунок 2):
— Ветви параболы направлены вверх, значит, $a > 0$.
— Парабола пересекает ось $Oy$ ниже оси $Ox$, значит, $c < 0$.
Этим условиям соответствует вариант №2 ($a > 0$, $c < 0$).

График В (Рисунок 3):
— Ветви параболы направлены вниз, значит, $a < 0$.
— Парабола пересекает ось $Oy$ выше оси $Ox$, значит, $c > 0$.
Этим условиям соответствует вариант №1 ($a < 0$, $c > 0$).

Сопоставив буквы и цифры, получаем последовательность: А — 3, Б — 2, В — 1.

Ответ: 321

Источник: ФИПИ

Решение.

Для решения задачи воспользуемся данной в условии формулой мощности постоянного тока:
$P = I^{2} R$,
где $P$ — мощность в ваттах, $I$ — сила тока в амперах, $R$ — сопротивление в омах.

1. Выпишем значения величин, которые нам известны по условию:
Мощность $P = 245$ Вт;
Сила тока $I = 7$ А.

2. Подставим эти значения в исходную формулу:
$245 = 7^{2} \cdot R$.

3. Сначала вычислим квадрат силы тока:
$7^{2} = 7 \cdot 7 = 49$.
Теперь уравнение принимает вид:
$245 = 49 \cdot R$.

4. Чтобы найти неизвестный множитель $R$, нужно произведение разделить на известный множитель:
$R = 245 : 49$.

5. Выполним деление:
$245 : 49 = 5$.

Таким образом, сопротивление $R$ равно 5 Ом.

Ответ: 5

Источник: ФИПИ

Решение.

Для того чтобы решить неравенство $x^{2} \leq 64$, воспользуемся методом интервалов или графическим методом.

1. Сначала найдём корни соответствующего квадратного уравнения:
$x^{2} = 64$.
Извлекая квадратный корень из обеих частей уравнения, получаем два значения:
$x_{1} = 8$ и $x_{2} = -8$.

2. Эти точки разбивают числовую прямую на три интервала: $(-\infty; -8]$, $[-8; 8]$ и $[8; +\infty)$. Так как неравенство нестрогое ($\leq$), точки $-8$ и $8$ будут закрашенными (включены в решение).

3. Рассмотрим функцию $f(x) = x^{2} - 64$. Графиком этой функции является парабола, ветви которой направлены вверх (так как коэффициент при $x^{2}$ положителен).
Неравенство $x^{2} - 64 \leq 0$ означает, что нам нужно найти те значения $x$, при которых график параболы лежит ниже оси $Ox$ или пересекает её.

4. Парабола находится ниже оси $Ox$ на промежутке между своими корнями. Следовательно, решением неравенства является отрезок:
$-8 \leq x \leq 8$, что записывается как $x \in [-8; 8]$.

5. Посмотрим на предложенные рисунки:
- На рисунке 1 заштрихована область $x \leq 8$.
- На рисунке 2 заштрихованы "хвосты" (внешние области) $x \leq -8$ и $x \geq 8$.
- На рисунке 3 заштрихована область $x \leq -8$.
- На рисунке 4 заштрихована область между числами $-8$ и $8$, что соответствует нашему результату.

Ответ: 4

Источник: ФИПИ

Решение.

Разберем условие задачи. Нам известно, что расстояние, которое проходит поезд за каждую секунду, увеличивается на одну и ту же величину. Это означает, что последовательность расстояний за каждую секунду является арифметической прогрессией.

1. Выпишем известные данные:
— Первый член прогрессии $a_1 = 0,2$ (расстояние за первую секунду);
— Разность прогрессии $d = 0,6$ (на сколько метров больше поезд проходит каждую следующую секунду);
— Количество секунд $n = 8$.

2. Нам нужно найти общее расстояние, пройденное за 8 секунд. Это сумма первых восьми членов арифметической прогрессии $S_8$.
Воспользуемся формулой суммы первых $n$ членов:
$S_n = \frac{2a_1 + d(n - 1)}{2} \cdot n$

3. Подставим наши значения в формулу:
$S_8 = \frac{2 \cdot 0,2 + 0,6 \cdot (8 - 1)}{2} \cdot 8$

4. Выполним вычисления по шагам:
— Сначала найдем значение в скобках: $8 - 1 = 7$;
— Умножим разность на это число: $0,6 \cdot 7 = 4,2$;
— Найдем удвоенный первый член: $2 \cdot 0,2 = 0,4$;
— Сложим полученные результаты в числителе: $0,4 + 4,2 = 4,6$;
— Теперь подставим это в дробь: $S_8 = \frac{4,6}{2} \cdot 8$;
— Сократим 8 и 2, получим: $S_8 = 4,6 \cdot 4$;
— Выполним итоговое умножение: $4,6 \cdot 4 = 18,4$.

Таким образом, за первые 8 секунд движения поезд прошел 18,4 метра.

Ответ: 18,4

Источник: ФИПИ

Решение.

1) Вспомним важное свойство равностороннего треугольника: в нём биссектриса, проведённая к стороне, также является медианой и высотой. Это значит, что биссектриса делит противоположную сторону пополам и образует с ней прямой угол ($90^{\circ}$).

2) Пусть сторона равностороннего треугольника равна $a = 14 \sqrt{3}$. Биссектриса (она же высота) разбивает наш треугольник на два равных прямоугольных треугольника. Рассмотрим один из них.

3) В этом прямоугольном треугольнике:
— гипотенуза равна стороне исходного треугольника: $c = 14 \sqrt{3}$;
— один из катетов равен половине стороны (так как биссектриса является медианой): $b = \frac{14 \sqrt{3}}{2} = 7 \sqrt{3}$;
— второй катет — это и есть искомая биссектриса $h$.

4) Воспользуемся теоремой Пифагора: сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы.
$h^2 + (7 \sqrt{3})^2 = (14 \sqrt{3})^2$

5) Выполним вычисления:
$(7 \sqrt{3})^2 = 49 \cdot 3 = 147$
$(14 \sqrt{3})^2 = 196 \cdot 3 = 588$

6) Подставим значения в уравнение:
$h^2 + 147 = 588$
$h^2 = 588 - 147$
$h^2 = 441$

7) Найдём значение $h$:
$h = \sqrt{441} = 21$

Альтернативный способ: можно воспользоваться готовой формулой высоты (биссектрисы) равностороннего треугольника: $h = \frac{a \sqrt{3}}{2}$.
Подставим $a = 14 \sqrt{3}$:
$h = \frac{14 \sqrt{3} \cdot \sqrt{3}}{2} = \frac{14 \cdot 3}{2} = 7 \cdot 3 = 21$.

Ответ: 21

Источник: ФИПИ

Решение.

Для решения задачи воспользуемся свойствами равностороннего (правильного) треугольника.

1. Обозначим сторону равностороннего треугольника через $a$, а радиус вписанной в него окружности через $r$. По условию задачи $r = 6 \sqrt{3}$.

2. Вспомним формулу, связывающую радиус вписанной окружности со стороной правильного треугольника:
$r = \frac{a \sqrt{3}}{6}$.

3. Из этой формулы мы можем выразить сторону треугольника $a$:
$a = \frac{6 \cdot r}{\sqrt{3}}$.

4. Подставим известное значение радиуса $r = 6 \sqrt{3}$ в полученное выражение:
$a = \frac{6 \cdot (6 \sqrt{3})}{\sqrt{3}}$.

5. Сократим дробь на $\sqrt{3}$:
$a = 6 \cdot 6 = 36$.

Таким образом, длина стороны треугольника равна 36.

Ответ: 36

Источник: ФИПИ

Решение.

1) Рассмотрим прямоугольник. Пусть точка $O$ — точка пересечения его диагоналей. Нам известно, что диагонали прямоугольника равны и точкой пересечения делятся пополам. Это значит, что отрезки, соединяющие центр с вершинами, равны между собой.

2) Рассмотрим треугольник, образованный меньшей стороной прямоугольника и половинами диагоналей. Так как половины диагоналей равны, этот треугольник является равнобедренным.

3) По условию задачи диагональ образует с одной из сторон угол $70^\circ$. Пусть это будет угол между диагональю и большей стороной прямоугольника. Тогда в прямоугольном треугольнике (образованном двумя сторонами и диагональю) второй острый угол будет равен:
$90^\circ - 70^\circ = 20^\circ$.
Этот угол в $20^\circ$ является углом при основании равнобедренного треугольника, боковыми сторонами которого являются половины диагоналей.

4) В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Значит, оба угла при основании равны по $20^\circ$. Сумма углов в любом треугольнике равна $180^\circ$. Найдём угол при вершине (это и есть угол между диагоналями):
$180^\circ - (20^\circ + 20^\circ) = 180^\circ - 40^\circ = 140^\circ$.

5) Мы получили два угла между диагоналями: $140^\circ$ (тупой) и смежный с ним угол. Найдём смежный угол:
$180^\circ - 140^\circ = 40^\circ$.

6) По условию задачи нам необходимо найти острый угол между диагоналями. Из двух полученных углов ($140^\circ$ и $40^\circ$) острым является угол $40^\circ$.

Ответ: 40

Источник: ФИПИ

Решение.

1. Вспомним определение и свойство средней линии треугольника. Средняя линия треугольника — это отрезок, соединяющий середины двух его сторон. По свойству средней линии, она параллельна третьей стороне треугольника и равна её половине.

2. В задаче требуется найти длину средней линии, параллельной стороне $A C$. Обозначим длину этой средней линии как $m$. Согласно свойству:
$m = \frac{1}{2} \cdot AC$.

3. Определим длину стороны $A C$ по рисунку. Сторона $A C$ расположена горизонтально на сетке. Посчитаем количество клеток между точками $A$ и $C$. Мы видим, что отрезок $A C$ занимает $6$ полных клеток. Так как размер клетки составляет $1 \times 1$, то длина стороны $A C = 6$.

4. Теперь вычислим длину средней линии:
$m = \frac{6}{2} = 3$.

Ответ: 3

Источник: ФИПИ

Решение. Рассмотрим каждое утверждение по порядку, опираясь на свойства геометрических фигур.

1) Существует прямоугольник, диагонали которого взаимно перпендикулярны.
Вспомним определение: прямоугольник — это параллелограмм, у которого все углы прямые. Квадрат является частным случаем прямоугольника (у него все углы прямые и все стороны равны). Одно из свойств квадрата гласит, что его диагонали пересекаются под прямым углом. Следовательно, такой прямоугольник существует — это квадрат. Утверждение верно.

2) Если в ромбе один из углов равен 90 градусам, то этот ромб является квадратом.
Ромб — это параллелограмм, у которого все стороны равны. У любого параллелограмма противоположные углы равны, а сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна $180^\circ$. Если один угол ромба равен $90^\circ$, то противоположный ему тоже равен $90^\circ$, и остальные два угла будут равны $180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$. Таким образом, все углы ромба становятся прямыми. Ромб с прямыми углами по определению является квадратом. Утверждение верно.

3) В тупоугольном треугольнике все углы тупые.
Тупым называется угол, величина которого больше $90^\circ$. Мы знаем, что сумма всех углов любого треугольника всегда равна $180^\circ$. Если бы в треугольнике было хотя бы два тупых угла, их сумма уже превысила бы $180^\circ$ ($91^\circ + 91^\circ = 182^\circ$), что невозможно. Поэтому в тупоугольном треугольнике может быть только один тупой угол, а остальные два обязательно будут острыми. Утверждение неверно.

Таким образом, верными являются утверждения под номерами 1 и 2.

Ответ: 12

Источник: ФИПИ