Вариант 8 · Июль 2026

Решение.

Для того чтобы найти разность двух обыкновенных дробей, их необходимо привести к общему знаменателю. В данном случае знаменатели равны $5$ и $50$. Общим знаменателем будет число $50$, так как оно делится на $5$ без остатка.

1. Найдём дополнительный множитель для первой дроби: $50 : 5 = 10$. Умножим числитель и знаменатель первой дроби на $10$:
$\frac{1 \cdot 10}{5 \cdot 10} = \frac{10}{50}$.

2. Теперь выполним вычитание дробей с одинаковыми знаменателями:
$\frac{10}{50} - \frac{41}{50} = \frac{10 - 41}{50}$.

3. Вычислим разность в числителе. Так как мы вычитаем из меньшего числа большее, результат будет отрицательным:
$10 - 41 = -31$.
Получаем дробь: $-\frac{31}{50}$.

4. Переведём полученный результат в десятичную дробь. Для этого удобно домножить и числитель, и знаменатель на $2$, чтобы в знаменателе получилось число $100$:
$-\frac{31 \cdot 2}{50 \cdot 2} = -\frac{62}{100} = -0,62$.

Ответ: -0,62

Источник: ФИПИ

Решение.

Чтобы определить, какой точке соответствует число $0,271$, необходимо расставить все данные числа в порядке возрастания. На координатной прямой точки располагаются слева направо: от самого маленького числа к самому большому.

Выпишем данные числа:
$0,271$; $-0,112$; $0,041$; $-0,267$.

1) Сначала сравним отрицательные числа: $-0,112$ и $-0,267$.
Из двух отрицательных чисел меньше то, модуль которого больше. Так как $0,267 > 0,112$, то $-0,267 < -0,112$.
Значит, самое левое число на прямой — это $-0,267$. Оно соответствует точке $A$.

2) Следующее по величине отрицательное число — это $-0,112$. Оно соответствует точке $B$.

3) Теперь сравним положительные числа: $0,271$ и $0,041$.
Сравним их по разрядам: в разряде десятых у первого числа стоит $2$, а у второго — $0$.
Так как $2 > 0$, то $0,271 > 0,041$.
Следовательно, число $0,041$ меньше и соответствует точке $C$.

4) Самое большое число в списке — $0,271$. На координатной прямой оно будет находиться правее всех остальных, то есть в точке $D$.

Таким образом, мы получили следующее соответствие:
$A \rightarrow -0,267$
$B \rightarrow -0,112$
$C \rightarrow 0,041$
$D \rightarrow 0,271$

Число $0,271$ соответствует точке $D$, что указано в варианте ответа № 4.

Ответ: 4

Источник: ФИПИ

Решение.

Для решения данного выражения воспользуемся одной из формул сокращённого умножения, а именно — формулой разности квадратов:
$(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$

В нашем случае роль $a$ играет число $\sqrt{31}$, а роль $b$ — число $3$. Применим формулу:

1) Запишем квадрат первого числа: $(\sqrt{31})^2$. По определению квадратного корня, при возведении корня в квадрат получается само подкоренное выражение:
$(\sqrt{31})^2 = 31$

2) Запишем квадрат второго числа:
$3^2 = 3 \cdot 3 = 9$

3) Теперь найдём разность полученных результатов согласно формуле:
$31 - 9 = 22$

Таким образом:
$(\sqrt{31} - 3)(\sqrt{31} + 3) = (\sqrt{31})^2 - 3^2 = 31 - 9 = 22$

Ответ: 22

Источник: ФИПИ

Решение.

Данное уравнение является неполным квадратным уравнением вида $ax^{2} + c = 0$. Решим его, перенеся свободное число в правую часть уравнения.

1. Перенесём число $-64$ из левой части в правую с противоположным знаком:
$x^{2} = 64$

2. Чтобы найти $x$, необходимо извлечь квадратный корень из числа $64$. Помним, что уравнение вида $x^{2} = a$ (где $a > 0$) всегда имеет два корня: положительный и отрицательный.
$x = \sqrt{64}$ или $x = -\sqrt{64}$

3. Вычислим значения корней:
Так как $8 \cdot 8 = 64$, то:
$x_{1} = 8$
$x_{2} = -8$

4. По условию задачи, если уравнение имеет более одного корня, в ответ нужно записать меньший из них. Сравним полученные числа:
$-8 < 8$

Следовательно, меньшим корнем является $-8$.

Ответ: -8

Источник: ФИПИ

Решение.

Для решения задачи воспользуемся классическим определением вероятности: вероятность события равна отношению количества благоприятных исходов к общему количеству возможных исходов.

1. Сначала определим общее количество исходов. По условию задачи, всего в продажу поступило $100$ фонариков. Значит, общее число исходов $n = 100$.

2. Теперь найдём количество благоприятных исходов. Нам нужно найти вероятность того, что фонарик окажется исправным. Известно, что из $100$ фонариков $8$ являются неисправными. Следовательно, количество исправных фонариков равно:
$100 - 8 = 92$.
Таким образом, число благоприятных исходов $m = 92$.

3. Вычислим вероятность $P$ события «выбранный фонарик исправен» по формуле:
$P = \frac{m}{n}$
Подставим наши значения:
$P = \frac{92}{100}$

4. Переведём обыкновенную дробь в десятичную:
$\frac{92}{100} = 0{,}92$.

Ответ: 0,92

Источник: ФИПИ

Решение.

Для решения данной задачи вспомним, за что отвечают коэффициенты $a$ и $c$ в уравнении квадратичной функции $y = ax^{2} + bx + c$:

1. Коэффициент $a$ определяет направление ветвей параболы. Если $a > 0$, то ветви направлены вверх. Если $a < 0$, то ветви направлены вниз.
2. Коэффициент $c$ — это ордината точки пересечения параболы с осью $Oy$. То есть это значение $y$ в точке, где график пересекает вертикальную ось. Если точка пересечения лежит выше оси $Ox$, то $c > 0$. Если ниже — то $c < 0$.

Проанализируем каждый график:

График №1: Ветви параболы направлены вверх, значит, $a > 0$. График пересекает ось $Oy$ выше оси $Ox$ (в положительной области), значит, $c > 0$. Это соответствует условию Б.

График №2: Ветви параболы направлены вниз, значит, $a < 0$. График пересекает ось $Oy$ выше оси $Ox$, значит, $c > 0$. Это соответствует условию А.

График №3: Ветви параболы направлены вверх, значит, $a > 0$. График пересекает ось $Oy$ ниже оси $Ox$ (в отрицательной области), значит, $c < 0$. Это соответствует условию В.

Сопоставим результаты:
А — 2
Б — 1
В — 3

Ответ: 213

Источник: ФИПИ

Решение.

Для решения задачи воспользуемся данной формулой площади четырёхугольника: $S = \frac{d_{1} d_{2} \sin \alpha}{2}$.

Шаг 1. Выпишем известные значения из условия:
$d_{1} = 11$
$\sin \alpha = \frac{1}{8}$
$S = 8,25$

Шаг 2. Подставим эти значения в формулу:
$8,25 = \frac{11 \cdot d_{2} \cdot \frac{1}{8}}{2}$

Шаг 3. Упростим выражение в правой части:
Сначала перемножим числа в числителе: $11 \cdot \frac{1}{8} = \frac{11}{8}$.
Теперь формула выглядит так: $8,25 = \frac{\frac{11}{8} \cdot d_{2}}{2}$.
Разделить дробь на $2$ — это то же самое, что умножить её знаменатель на $2$:
$8,25 = \frac{11 \cdot d_{2}}{8 \cdot 2}$
$8,25 = \frac{11 \cdot d_{2}}{16}$

Шаг 4. Выразим $d_{2}$:
Чтобы избавиться от знаменателя $16$, умножим обе части уравнения на $16$:
$8,25 \cdot 16 = 11 \cdot d_{2}$
Вычислим произведение в левой части: $8,25 \cdot 16 = 132$.
Получаем простое уравнение: $132 = 11 \cdot d_{2}$.

Шаг 5. Найдём $d_{2}$:
Разделим обе части уравнения на $11$:
$d_{2} = \frac{132}{11}$
$d_{2} = 12$

Ответ: 12

Источник: ФИПИ

Решение.

Проанализируем рисунок. На координатной прямой отмечены точки $-7$ и $7$. Штриховка расположена левее числа $-7$ и правее числа $7$. Это означает, что решением является объединение промежутков $(-\infty; -7) \cup (7; +\infty)$.

Разберём каждое из предложенных неравенств:

1) $x^{2} - 49 > 0$
Найдём корни уравнения $x^{2} - 49 = 0$.
$x^{2} = 49$
$x_{1} = -7$, $x_{2} = 7$.
Графиком функции $y = x^{2} - 49$ является парабола, ветви которой направлены вверх. Она пересекает ось $x$ в точках $-7$ и $7$. Значения функции положительны ($> 0$) на промежутках «за корнями», то есть при $x < -7$ и $x > 7$. Это в точности соответствует рисунку.

2) $x^{2} - 49 < 0$
Решением этого неравенства является промежуток между корнями: $(-7; 7)$. Это не подходит под наш рисунок.

3) $x^{2} + 49 < 0$
Выражение $x^{2} + 49$ всегда больше нуля, так как квадрат любого числа неотрицателен ($x^{2} \ge 0$), а прибавив $49$, мы получим число не меньше $49$. Следовательно, данное неравенство не имеет решений.

4) $x^{2} + 49 > 0$
Как мы выяснили выше, это неравенство верно при любом значении $x$. Его решением является вся числовая прямая $(-\infty; +\infty)$.

Таким образом, рисунку соответствует неравенство под номером 1.

Ответ: 1

Источник: ФИПИ

Решение.

Для решения этой задачи воспользуемся знаниями об арифметической прогрессии, так как расстояние, которое проезжает автомобиль каждую секунду, уменьшается на одно и то же число.

1. Выпишем данные из условия задачи:
— Расстояние за первую секунду: $a_1 = 26$ м.
— Разность прогрессии (так как расстояние уменьшается): $d = -3$ м/с.
— Время торможения (количество членов прогрессии): $n = 4$ с.

2. Нам нужно найти общее расстояние, пройденное за первые 4 секунды. Это сумма первых четырёх членов арифметической прогрессии $S_4$.

3. Сначала найдём расстояние, пройденное за каждую из четырёх секунд по отдельности:
— 1-я секунда: $a_1 = 26$ м;
— 2-я секунда: $a_2 = 26 - 3 = 23$ м;
— 3-я секунда: $a_3 = 23 - 3 = 20$ м;
— 4-я секунда: $a_4 = 20 - 3 = 17$ м.

4. Теперь сложим эти значения, чтобы найти общий путь:
$S_4 = a_1 + a_2 + a_3 + a_4$
$S_4 = 26 + 23 + 20 + 17$

5. Выполним сложение:
$26 + 23 = 49$
$49 + 20 = 69$
$69 + 17 = 86$

Также можно было воспользоваться формулой суммы арифметической прогрессии:
$S_n = \frac{2a_1 + d(n - 1)}{2} \cdot n$
$S_4 = \frac{2 \cdot 26 + (-3) \cdot (4 - 1)}{2} \cdot 4$
$S_4 = \frac{52 - 9}{2} \cdot 4 = \frac{43}{2} \cdot 4 = 43 \cdot 2 = 86$

Ответ: 86

Источник: ФИПИ

Решение.

1. Проанализируем условие задачи. Нам дан треугольник $A B C$, в котором точки $M$ и $N$ являются серединами сторон $A B$ и $B C$ соответственно. Отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника, называется его средней линией.

2. Согласно свойству средней линии треугольника, она параллельна третьей стороне и равна её половине. В нашем случае отрезок $M N$ является средней линией, которая параллельна стороне $A C$.

3. Запишем формулу для нахождения длины средней линии $M N$:
$M N = \frac{1}{2} \cdot A C$

4. По условию задачи длина стороны $A C$ равна 28. Подставим это значение в формулу:
$M N = \frac{28}{2}$

5. Выполним деление:
$M N = 14$

Стоит отметить, что длины сторон $A B = 21$ и $B C = 22$ в данной задаче являются избыточными данными и не требуются для нахождения ответа.

Ответ: 14

Источник: ФИПИ

Решение.

Для решения этой задачи воспользуемся важным свойством четырехугольника, вписанного в окружность.

1. Согласно теореме о вписанном четырёхугольнике, сумма противоположных углов такого четырёхугольника равна $180^\circ$. Трапеция $ABCD$ является вписанным четырёхугольником, так как все её вершины лежат на окружности.

2. Противоположными углами в данной трапеции являются пары углов $A$ и $C$, а также $B$ и $D$. Следовательно, сумма углов $A$ и $C$ должна составлять $180^\circ$:
$\angle A + \angle C = 180^\circ$.

3. По условию задачи угол $A$ равен $81^\circ$. Подставим это значение в наше уравнение:
$81^\circ + \angle C = 180^\circ$.

4. Теперь найдём величину угла $C$, вычтя из $180^\circ$ известный угол $A$:
$\angle C = 180^\circ - 81^\circ$;
$\angle C = 99^\circ$.

Примечание: Стоит помнить, что в окружность можно вписать только равнобедренную трапецию. В равнобедренной трапеции углы при основаниях равны ($\angle A = \angle D$, $\angle B = \angle C$), а сумма углов, прилежащих к боковой стороне, также равна $180^\circ$ ($\angle A + \angle B = 180^\circ$). Оба этих свойства приводят к тому же результату.

Ответ: 99

Источник: ФИПИ

Решение.

1. Разберёмся в связи между окружностью и квадратом. На рисунке изображён квадрат, внутри которого находится вписанная окружность. Это означает, что окружность касается всех четырёх сторон квадрата.

2. Заметим, что расстояние между противоположными сторонами квадрата равно диаметру вписанной окружности. В то же время, расстояние между противоположными сторонами квадрата — это и есть длина его стороны $a$.

3. Таким образом, сторона квадрата $a$ равна диаметру окружности $d$. Так как диаметр в два раза больше радиуса $r$, получаем формулу:
$a = 2 \cdot r$

4. Подставим известное значение радиуса $r = 4$ в формулу:
$a = 2 \cdot 4 = 8$

5. Теперь, зная сторону квадрата, мы можем найти его площадь $S$. Площадь квадрата вычисляется по формуле:
$S = a^2$

6. Выполним вычисление:
$S = 8^2 = 8 \cdot 8 = 64$

Ответ: 64

Источник: ФИПИ

Решение.

Для того чтобы найти площадь параллелограмма, воспользуемся формулой: $S = a \cdot h$, где $a$ — сторона параллелограмма, а $h$ — высота, проведённая к этой стороне.

1. Рассмотрим рисунок. Мы видим, что к нижней стороне параллелограмма проведена высота. Длина этой высоты $h = 12$.

2. Нижняя сторона параллелограмма разделена основанием высоты на два отрезка. Согласно рисунку, длины этих отрезков равны $5$ и $5$.

3. Найдём общую длину стороны $a$, сложив длины этих отрезков:
$a = 5 + 5 = 10$.

4. Теперь подставим известные значения стороны и высоты в формулу площади:
$S = 10 \cdot 12 = 120$.

Заметим, что число $13$ на рисунке обозначает длину боковой стороны параллелограмма. Для вычисления площади через высоту она нам не потребовалась, но она подтверждает корректность данных (по теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике: $5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169 = 13^2$).

Ответ: 120

Источник: ФИПИ

Решение.

Разберём каждое утверждение по порядку, опираясь на геометрические определения и свойства фигур.

1) «Все углы ромба равны».
Вспомним определение: ромб — это параллелограмм, у которого все стороны равны. По свойствам параллелограмма, у ромба равны только противоположные углы. Все углы равны (и составляют $90^\circ$) только у частного случая ромба — квадрата. В общем же случае у ромба есть пара острых и пара тупых углов. Следовательно, это утверждение неверно.

2) «Площадь квадрата равна произведению двух его смежных сторон».
Квадрат является прямоугольником. Площадь любого прямоугольника вычисляется как произведение длин его смежных сторон (длины на ширину). Так как у квадрата все стороны равны, его площадь $S = a \cdot a = a^2$, где $a$ — сторона квадрата. Утверждение верно.

3) «Любые два равносторонних треугольника подобны».
В равностороннем треугольнике все углы равны между собой и составляют $180^\circ : 3 = 60^\circ$. Таким образом, у любых двух равносторонних треугольников все соответствующие углы равны (все по $60^\circ$). Согласно первому признаку подобия треугольников (по двум углам), такие треугольники всегда будут подобны. Утверждение верно.

Таким образом, истинными являются утверждения под номерами 2 и 3.

Ответ: 23

Источник: ФИПИ