Вариант 9 · Июль 2026

Решение.

Для того чтобы найти значение выражения $\frac{6,8}{1,7}$, выполним следующие действия:

1. Избавимся от запятых в числителе и знаменателе дроби. Для этого воспользуемся основным свойством дроби: если числитель и знаменатель умножить на одно и то же ненулевое число, значение дроби не изменится. Умножим и числитель, и знаменатель на $10$:
$\frac{6,8 \cdot 10}{1,7 \cdot 10} = \frac{68}{17}$

2. Теперь нам нужно разделить целое число $68$ на $17$. Попробуем подобрать частное методом умножения:
Проверим число $4$:
$17 \cdot 4 = (10 + 7) \cdot 4 = 10 \cdot 4 + 7 \cdot 4 = 40 + 28 = 68$

3. Так как $17 \cdot 4 = 68$, то результат деления равен $4$.

Ответ: 4

Источник: ФИПИ

Решение.

Чтобы понять, между какими целыми числами находится корень из числа $58$, нужно сравнить его с квадратами целых чисел. Вспомним, что если $a < b < c$, то и $\sqrt{a} < \sqrt{b} < \sqrt{c}$ (для положительных чисел).

1) Проверим первый вариант: числа $19$ и $21$.
Возведём их в квадрат: $19^2 = 361$, $21^2 = 441$.
Число $58$ явно не находится в промежутке между $361$ и $441$.

2) Проверим второй вариант: числа $57$ и $59$.
Это очень большие числа для данного корня. Их квадраты будут значительно больше $58$. Например, $57^2 = 3249$.

3) Проверим третий вариант: числа $3$ и $4$.
Возведём их в квадрат: $3^2 = 9$, $4^2 = 16$.
Число $58$ не попадает в промежуток от $9$ до $16$.

4) Проверим четвёртый вариант: числа $7$ и $8$.
Возведём их в квадрат:
$7^2 = 49$
$8^2 = 64$
Мы видим, что число $58$ находится между $49$ и $64$.
Следовательно, выполняется неравенство: $49 < 58 < 64$.

Извлечём квадратный корень из всех частей неравенства:
$\sqrt{49} < \sqrt{58} < \sqrt{64}$
$7 < \sqrt{58} < 8$

Таким образом, число $\sqrt{58}$ заключено между числами $7$ и $8$, что соответствует варианту № 4.

Ответ: 4

Источник: ФИПИ

Решение.

Для решения данного примера воспользуемся свойствами корней. Вспомним, что произведение корней равно корню из произведения: $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{a \cdot b}$.

1. Запишем всё выражение под одним общим знаком корня:
$\sqrt{11 \cdot 18 \cdot 22}$

2. Чтобы было проще извлечь корень, разложим числа под корнем на множители. Число $18$ можно представить как $9 \cdot 2$, а число $22$ — как $11 \cdot 2$:
$\sqrt{11 \cdot (9 \cdot 2) \cdot (11 \cdot 2)}$

3. Теперь сгруппируем одинаковые множители:
$\sqrt{(11 \cdot 11) \cdot (2 \cdot 2) \cdot 9} = \sqrt{11^2 \cdot 2^2 \cdot 3^2}$

4. Извлечём корень из каждого множителя (напоминаю, что $\sqrt{x^2} = x$ для положительных чисел):
$11 \cdot 2 \cdot 3$

5. Выполним итоговое умножение:
$11 \cdot 2 = 22$
$22 \cdot 3 = 66$

Ответ: 66

Источник: ФИПИ

Решение.

Данное уравнение $x^{2} - 11x + 18 = 0$ является полным квадратным уравнением вида $ax^{2} + bx + c = 0$, где коэффициенты равны:
$a = 1$, $b = -11$, $c = 18$.

Для решения воспользуемся формулой дискриминанта:
$D = b^{2} - 4ac$.

Подставим значения коэффициентов в формулу:
$D = (-11)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 18 = 121 - 72 = 49$.

Так как дискриминант положительный ($D > 0$), уравнение имеет два различных корня. Вычислим корень из дискриминанта:
$\sqrt{D} = \sqrt{49} = 7$.

Теперь найдем корни уравнения по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
1) $x_{1} = \frac{-(-11) + 7}{2 \cdot 1} = \frac{11 + 7}{2} = \frac{18}{2} = 9$;
2) $x_{2} = \frac{-(-11) - 7}{2 \cdot 1} = \frac{11 - 7}{2} = \frac{4}{2} = 2$.

Уравнение имеет два корня: $9$ и $2$. По условию задачи в ответ необходимо записать больший из корней. Сравнивая числа $9$ и $2$, видим, что $9 > 2$.

Ответ: 9

Источник: ФИПИ

Решение.

Для решения задачи воспользуемся классическим определением вероятности: вероятность события равна отношению количества благоприятных исходов к общему количеству возможных исходов.

1) Сначала найдём общее количество синих и чёрных ручек вместе. Для этого из общего числа ручек вычтем количество красных, зелёных и фиолетовых:
$165 - (37 + 16 + 46) = 165 - 99 = 66$.
Таким образом, в магазине всего $66$ синих и чёрных ручек.

2) По условию задачи синих и чёрных ручек поровну. Найдём количество ручек каждого из этих цветов:
$66 : 2 = 33$.
Значит, в магазине $33$ синие ручки и $33$ чёрные ручки.

3) Нам нужно найти вероятность того, что выбранная ручка будет синей или чёрной. Благоприятным исходом является выбор любой ручки из этих двух категорий. Общее количество благоприятных исходов равно сумме синих и чёрных ручек, которую мы уже вычислили на первом шаге: $66$.

4) Вычислим вероятность $P$, разделив количество благоприятных исходов ($66$) на общее количество ручек в магазине ($165$):
$P = \frac{66}{165}$.

5) Сократим дробь. Заметим, что оба числа делятся на $33$:
$66 : 33 = 2$,
$165 : 33 = 5$.
Получаем: $P = \frac{2}{5}$.

6) Переведём обыкновенную дробь в десятичную:
$\frac{2}{5} = 0,4$.

Ответ: 0,4

Источник: ФИПИ

Решение.

Для решения этой задачи вспомним, за что отвечают коэффициенты $k$ и $b$ в уравнении прямой $y = kx + b$:
1) Коэффициент $k$ (угловой коэффициент) определяет наклон прямой. Если $k > 0$, функция возрастает (прямая идет «снизу вверх»). Если $k < 0$, функция убывает (прямая идет «сверху вниз»).
2) Коэффициент $b$ — это ордината точки пересечения графика с осью $Oy$. Если прямая пересекает ось $Oy$ выше оси $Ox$, то $b > 0$. Если ниже — то $b < 0$.

Проанализируем каждый график:

График А (Рисунок 3):
Прямая идет «снизу вверх», значит, функция возрастает и $k > 0$.
Точка пересечения с осью $Oy$ находится ниже начала координат (в отрицательной области), следовательно, $b < 0$.
Это соответствует варианту 3.

График Б (Рисунок 1):
Прямая идет «сверху вниз», значит, функция убывает и $k < 0$.
Точка пересечения с осью $Oy$ находится ниже начала координат, следовательно, $b < 0$.
Это соответствует варианту 1.

График В (Рисунок 2):
Прямая идет «сверху вниз», значит, функция убывает и $k < 0$.
Точка пересечения с осью $Oy$ находится выше начала координат (в положительной области), следовательно, $b > 0$.
Это соответствует варианту 2.

Заполним таблицу соответствия:
А — 3
Б — 1
В — 2

Ответ: 312

Источник: ФИПИ

Решение.

Для решения задачи воспользуемся данной в условии формулой перевода температуры из шкалы Фаренгейта в шкалу Цельсия: $t_{C} = \frac{5}{9} (t_{F} - 32)$.

По условию нам известно значение температуры по шкале Фаренгейта: $t_{F} = 59$. Чтобы найти соответствующее значение в градусах Цельсия, подставим это число в формулу вместо переменной $t_{F}$.

Шаг 1. Выполним вычитание в скобках: $59 - 32 = 27$.

Шаг 2. Теперь подставим полученный результат в основное выражение: $t_{C} = \frac{5}{9} \cdot 27$.

Шаг 3. Чтобы умножить дробь на число, нужно это число умножить на числитель дроби и разделить на её знаменатель. Заметим, что $27$ и $9$ сокращаются на $9$: $t_{C} = 5 \cdot \frac{27}{9} = 5 \cdot 3 = 15$.

Таким образом, 59 градусов по шкале Фаренгейта соответствуют 15 градусам по шкале Цельсия.

Ответ: 15

Источник: ФИПИ

Решение.

1) Проанализируем рисунок. На координатной прямой изображён интервал между числами $0$ и $1$. Точки закрашены, значит, неравенство нестрогое. Решением является отрезок $[0; 1]$. Это означает, что корни соответствующего квадратного уравнения должны быть равны $0$ и $1$.

2) Проверим корни уравнений для каждого варианта ответа:
В вариантах 1 и 3 дано выражение $x^{2} - 1$. Приравняем его к нулю: $x^{2} - 1 = 0 \Rightarrow x^{2} = 1 \Rightarrow x = \pm 1$. Корни $-1$ и $1$ не совпадают с числами на рисунке. Эти варианты нам не подходят.
В вариантах 2 и 4 дано выражение $x^{2} - x$. Приравняем его к нулю: $x^{2} - x = 0$. Вынесем общий множитель за скобки: $x(x - 1) = 0$. Отсюда $x = 0$ или $x = 1$. Эти корни соответствуют точкам на рисунке.

3) Теперь определим знак неравенства для функции $f(x) = x^{2} - x$. Графиком этой функции является парабола, ветви которой направлены вверх (так как коэффициент перед $x^{2}$ положителен).
Схематично парабола пересекает ось $Ox$ в точках $0$ и $1$. Часть параболы, которая находится ниже оси $Ox$ (где значения функции меньше или равны нулю), как раз расположена на промежутке $[0; 1]$.
Следовательно, заштрихованная область соответствует неравенству $x^{2} - x \leq 0$.

4) Проверим методом интервалов для варианта № 4: $x(x - 1) \leq 0$.
Возьмём точку из промежутка $(0; 1)$, например $x = 0,5$:
$0,5 \cdot (0,5 - 1) = 0,5 \cdot (-0,5) = -0,25$.
Так как $-0,25 \leq 0$, данный промежуток является решением неравенства № 4.

Ответ: 4

Источник: ФИПИ

Решение.

1. Проанализируем условие задачи. Так как в каждом следующем ряду количество мест увеличивается на одно и то же число, мы имеем дело с арифметической прогрессией.

2. Обозначим через $a_n$ количество мест в ряду с номером $n$, а через $d$ — разность прогрессии (то самое число, на которое увеличивается количество мест в каждом ряду).

3. Нам известны данные для двух рядов:
— в четвёртом ряду 23 места: $a_4 = 23$;
— в восьмом ряду 35 мест: $a_8 = 35$.

4. Используем формулу $n$-го члена арифметической прогрессии: $a_n = a_1 + (n - 1) \cdot d$.
Запишем выражения для известных нам членов:
$a_4 = a_1 + 3d = 23$
$a_8 = a_1 + 7d = 35$

5. Чтобы найти разность $d$, вычтем из второго уравнения первое:
$(a_1 + 7d) - (a_1 + 3d) = 35 - 23$
$4d = 12$
$d = 12 : 4$
$d = 3$.
Значит, в каждом следующем ряду на 3 места больше, чем в предыдущем.

6. Теперь найдём количество мест в первом ряду ($a_1$), подставив $d = 3$ в уравнение для четвёртого ряда:
$a_1 + 3 \cdot 3 = 23$
$a_1 + 9 = 23$
$a_1 = 23 - 9$
$a_1 = 14$.

7. Нам нужно узнать, сколько мест в последнем ряду. Всего в амфитеатре 16 рядов, значит, ищем $a_{16}$:
$a_{16} = a_1 + (16 - 1) \cdot d$
$a_{16} = 14 + 15 \cdot 3$
$a_{16} = 14 + 45$
$a_{16} = 59$.

Ответ: 59

Источник: ФИПИ

Решение.

1. Вспомним свойства равностороннего треугольника. В таком треугольнике все стороны равны, а все углы составляют $60^\circ$. Пусть сторона треугольника равна $a$.

2. Высота в равностороннем треугольнике также является медианой и биссектрисой. Если мы проведём высоту $h$, она разделит треугольник на два равных прямоугольных треугольника. В одном из таких треугольников:
— гипотенуза равна стороне $a$;
— один из катетов равен половине стороны, то есть $\frac{a}{2}$;
— второй катет — это сама высота $h = 11\sqrt{3}$.

3. Воспользуемся определением синуса или теоремой Пифагора. В прямоугольном треугольнике высота противолежит углу в $60^\circ$. Тогда:
$h = a \cdot \sin 60^\circ$

4. Подставим известные значения. Мы знаем, что $\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$. Получаем уравнение:
$11\sqrt{3} = a \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$

5. Чтобы найти $a$, разделим обе части уравнения на $\sqrt{3}$:
$11 = \frac{a}{2}$

6. Теперь выразим $a$, умножив обе части на 2:
$a = 11 \cdot 2$
$a = 22$

Таким образом, сторона равностороннего треугольника равна 22.

Ответ: 22

Источник: ФИПИ

Решение.

1) Рассмотрим треугольник $BOC$. Точка $O$ является центром окружности, а отрезки $OB$ и $OC$ — её радиусами. Так как все радиусы одной окружности равны, то $OB = OC$. Следовательно, треугольник $BOC$ является равнобедренным с основанием $BC$.

2) В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Значит, $\angle OBC = \angle OCB$. По условию задачи $\angle ACB = 23^{\circ}$ (это тот же угол, что и $\angle OCB$), поэтому $\angle OBC = 23^{\circ}$.

3) Сумма углов в любом треугольнике равна $180^{\circ}$. Найдём угол $BOC$ при вершине треугольника:
$\angle BOC = 180^{\circ} - (\angle OBC + \angle OCB) = 180^{\circ} - (23^{\circ} + 23^{\circ}) = 180^{\circ} - 46^{\circ} = 134^{\circ}$.

4) Отрезки $AC$ и $BD$ — диаметры, которые пересекаются в точке $O$. Углы $AOD$ и $BOC$ являются вертикальными. По свойству вертикальных углов они равны между собой.

5) Таким образом, $\angle AOD = \angle BOC = 134^{\circ}$.

Ответ: 134

Источник: ФИПИ

Решение.

Для решения задачи вспомним основные свойства ромба:

1. У ромба все стороны равны.

2. Сумма углов ромба, прилежащих к одной стороне, равна $180^{\circ}$.

3. Диагонали ромба являются биссектрисами его углов (то есть делят углы пополам).

4. Меньшая диагональ ромба лежит против его острого угла, а большая — против тупого. Однако, если мы проведём диагональ, соединяющую вершины тупых углов, она будет меньшей диагональю. Именно такая ситуация изображена на рисунке: диагональ соединяет вершины тупых углов, образуя треугольник со сторонами ромба.

Шаг 1. Найдём тупой угол ромба. Так как сумма острого и тупого углов ромба равна $180^{\circ}$, а острый угол по условию равен $74^{\circ}$, то тупой угол равен:
$180^{\circ} - 74^{\circ} = 106^{\circ}$.

Шаг 2. Нам нужно найти угол между стороной и меньшей диагональю. Меньшая диагональ выходит из вершины тупого угла и является его биссектрисой. Значит, искомый угол равен половине тупого угла ромба:

$106^{\circ} : 2 = 53^{\circ}$.

Проверка: Если рассмотреть треугольник, образованный двумя сторонами ромба и меньшей диагональю, то он является равнобедренным (так как стороны ромба равны). Углы при основании этого треугольника (между сторонами и диагональю) равны. Угол при вершине этого треугольника — это острый угол ромба $74^{\circ}$. Тогда углы при основании равны $(180^{\circ} - 74^{\circ}) : 2 = 106^{\circ} : 2 = 53^{\circ}$.

Ответ: 53

Источник: ФИПИ

Решение.

Для решения этой задачи воспользуемся тем, что треугольник изображён на клетчатой бумаге, где размер каждой клетки составляет $1 \times 1$. Это позволяет нам найти длины сторон треугольника, просто посчитав количество клеток.

1) Вспомним определение: в прямоугольном треугольнике стороны, образующие прямой угол, называются катетами. На рисунке мы видим, что прямой угол образован вертикальной и горизонтальной линиями сетки.

2) Найдём длину вертикального катета. Посчитаем количество клеток вдоль левой вертикальной стороны треугольника: она занимает $5$ клеток. Значит, длина первого катета равна $5$.

3) Найдём длину горизонтального катета. Посчитаем количество клеток вдоль нижней горизонтальной стороны треугольника: она занимает $8$ клеток. Значит, длина второго катета равна $8$.

4) Сравним полученные значения: $8 > 5$. Следовательно, большим катетом является горизонтальный катет, длина которого равна $8$.

Ответ: 8

Источник: ФИПИ

Решение. Рассмотрим каждое утверждение по порядку, опираясь на геометрические правила и определения.

1) Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести прямую, параллельную данной прямой.
Это утверждение является верным. Согласно аксиоме параллельных прямых (аксиоме Евклида), через точку, не лежащую на данной прямой, проходит прямая, параллельная данной, причём только одна. Возможность проведения такой прямой — фундаментальное свойство геометрии на плоскости.

2) Если диагонали параллелограмма равны, то этот параллелограмм является ромбом.
Это утверждение неверно. Равенство диагоналей в параллелограмме является признаком прямоугольника, а не ромба. У ромба диагонали взаимно перпендикулярны и являются биссектрисами его углов, но они равны только в том частном случае, когда ромб является квадратом.

3) Расстояние от точки, лежащей на окружности, до центра окружности равно радиусу.
Это утверждение верно. По определению, окружность — это геометрическое место точек плоскости, равноудалённых от заданной точки (центра). Это расстояние как раз и называется радиусом окружности $R$. Следовательно, для любой точки на окружности расстояние до центра неизменно и равно $R$.

Таким образом, истинными являются утверждения под номерами 1 и 3.

Ответ: 13

Источник: ФИПИ