Задание №12 — МЕХАНИЧЕСКИЕ ЯВЛЕНИЯ

Решение.

Для решения задачи проанализируем движение космического корабля по круговой орбите под действием силы тяготения Земли.

1. Модуль скорости корабля.
На космический корабль массой $m$, движущийся по круговой орбите радиусом $r$ вокруг Земли массой $M$, действует сила всемирного тяготения. Согласно второму закону Ньютона, эта сила сообщает кораблю центростремительное ускорение:
$F_{тяг} = m \cdot a_{ц}$
Подставим формулы для силы тяготения и центростремительного ускорения:
$G \cdot \frac{M \cdot m}{r^2} = m \cdot \frac{v^2}{r}$
Сократив на массу корабля $m$ и один радиус $r$, получим выражение для квадрата скорости:
$v^2 = \frac{G \cdot M}{r}$, откуда $v = \sqrt{\frac{G \cdot M}{r}}$.
Из формулы видно, что скорость $v$ обратно пропорциональна корню квадратному из радиуса орбиты. По условию задачи радиус орбиты уменьшился. Следовательно, модуль скорости корабля увеличился (1).

2. Период обращения корабля.
Период обращения $T$ — это время, за которое корабль совершает один полный оборот по окружности длиной $2\pi r$:
$T = \frac{2\pi r}{v}$
Подставим в эту формулу выражение для скорости $v = \sqrt{\frac{G \cdot M}{r}}$:
$T = \frac{2\pi r}{\sqrt{\frac{G \cdot M}{r}}} = 2\pi \cdot \sqrt{\frac{r^3}{G \cdot M}}$.
Из полученной формулы (которая также является следствием третьего закона Кеплера) видно, что при уменьшении радиуса орбиты $r$ период обращения $T$ также уменьшается. Таким образом, период обращения корабля уменьшился (2).

Ответ: 12

Источник: ФИПИ