Задание №21 — ТЕПЛОВЫЕ ЯВЛЕНИЯ

Решение.

Для решения задачи воспользуемся уравнением теплового баланса с учётом потерь энергии в окружающую среду.

Дано:
$m_1 = 3 \text{ кг}$ — масса горячей воды
$t_1 = 80 \text{ °C}$ — начальная температура горячей воды
$m_2 = 1,6 \text{ кг}$ — масса холодной воды
$t_2 = 10 \text{ °C}$ — начальная температура холодной воды
$\eta = 20\% = 0,2$ — доля потерь энергии
$c = 4200 \text{ Дж/(кг}\cdot\text{°C)}$ — удельная теплоёмкость воды
$\theta - ?$ — конечная температура смеси

Анализ и решение:

1. При смешивании горячая вода отдает количество теплоты $Q_{\text{отд}}$, охлаждаясь от $t_1$ до конечной температуры $\theta$:
$Q_{\text{отд}} = c \cdot m_1 \cdot (t_1 - \theta)$

2. Холодная вода получает количество теплоты $Q_{\text{пол}}$, нагреваясь от $t_2$ до $\theta$:
$Q_{\text{пол}} = c \cdot m_2 \cdot (\theta - t_2)$

3. По условию задачи, часть теплоты, отданной горячей водой, теряется. На нагревание холодной воды идет только оставшаяся часть энергии. Если потери составляют $\eta$, то полезная часть энергии составляет $(1 - \eta)$. Составим уравнение теплового баланса:
$Q_{\text{пол}} = (1 - \eta) \cdot Q_{\text{отд}}$

4. Подставим выражения для $Q_{\text{пол}}$ и $Q_{\text{отд}}$ в уравнение:
$c \cdot m_2 \cdot (\theta - t_2) = (1 - \eta) \cdot c \cdot m_1 \cdot (t_1 - \theta)$

5. Сократим обе части уравнения на $c$ и раскроем скобки:
$m_2 \cdot \theta - m_2 \cdot t_2 = (1 - \eta) \cdot m_1 \cdot t_1 - (1 - \eta) \cdot m_1 \cdot \theta$

6. Перенесем слагаемые с искомой величиной $\theta$ в левую часть, а остальные — в правую:
$m_2 \cdot \theta + (1 - \eta) \cdot m_1 \cdot \theta = (1 - \eta) \cdot m_1 \cdot t_1 + m_2 \cdot t_2$
$\theta \cdot (m_2 + (1 - \eta) \cdot m_1) = (1 - \eta) \cdot m_1 \cdot t_1 + m_2 \cdot t_2$

7. Выразим конечную температуру $\theta$:
$\theta = \frac{(1 - \eta) \cdot m_1 \cdot t_1 + m_2 \cdot t_2}{m_2 + (1 - \eta) \cdot m_1}$

8. Подставим числовые значения:
$\theta = \frac{(1 - 0,2) \cdot 3 \cdot 80 + 1,6 \cdot 10}{1,6 + (1 - 0,2) \cdot 3}$
$\theta = \frac{0,8 \cdot 3 \cdot 80 + 16}{1,6 + 0,8 \cdot 3}$
$\theta = \frac{192 + 16}{1,6 + 2,4}$
$\theta = \frac{208}{4} = 52 \text{ °C}$

Проверка размерности:
$[\theta] = \frac{\text{кг} \cdot \text{°C} + \text{кг} \cdot \text{°C}}{\text{кг} + \text{кг}} = \frac{\text{кг} \cdot \text{°C}}{\text{кг}} = \text{°C}$

Ответ: $\theta = 52 \text{ °C}$

Источник: ФИПИ