Задание №21 — ТЕПЛОВЫЕ ЯВЛЕНИЯ

Решение.

Дано:
$m_{\text{л}} = 2 m_{\text{в}}$
$\Delta m_{\text{л}} = 105 \text{ г} = 0,105 \text{ кг}$
$c_{\text{в}} = 4200 \text{ Дж/(кг}\cdot\text{°C)}$ (удельная теплоемкость воды)
$c_{\text{л}} = 2100 \text{ Дж/(кг}\cdot\text{°C)}$ (удельная теплоемкость льда)
$\lambda = 3,3 \cdot 10^5 \text{ Дж/кг}$ (удельная теплота плавления льда)
По графику:
$t_{\text{в1}} = 40 \text{ °C}$ (начальная температура воды)
$t_{\text{л1}} = -10 \text{ °C}$ (начальная температура льда)
$t_{\text{кон}} = 0 \text{ °C}$ (конечная температура смеси)
_________________
$m_{\text{в}} - ?$

Анализ физических процессов:
1. Вода охлаждается от $t_{\text{в1}} = 40 \text{ °C}$ до $t_{\text{кон}} = 0 \text{ °C}$, отдавая количество теплоты $Q_{\text{отд}}$.
2. Лед нагревается от $t_{\text{л1}} = -10 \text{ °C}$ до температуры плавления $t_{\text{кон}} = 0 \text{ °C}$, поглощая теплоту $Q_{\text{нагр.л}}$.
3. Часть льда массой $\Delta m_{\text{л}}$ плавится при температуре $0 \text{ °C}$, поглощая теплоту $Q_{\text{плав}}$.
Так как в конце процесса в сосуде одновременно находятся и вода, и лед (растаял не весь лед), конечная температура системы равна $0 \text{ °C}$.

Математическое описание:
Согласно уравнению теплового баланса: $Q_{\text{отд}} = Q_{\text{пол}}$.
Количество теплоты, отданное водой:
$Q_{\text{отд}} = c_{\text{в}} m_{\text{в}} (t_{\text{в1}} - t_{\text{кон}})$
Количество теплоты, полученное льдом для нагрева и плавления его части:
$Q_{\text{пол}} = Q_{\text{нагр.л}} + Q_{\text{плав}}$
$Q_{\text{нагр.л}} = c_{\text{л}} m_{\text{л}} (t_{\text{кон}} - t_{\text{л1}})$
$Q_{\text{плав}} = \lambda \Delta m_{\text{л}}$

Подставим выражения в уравнение теплового баланса, учитывая, что $m_{\text{л}} = 2 m_{\text{в}}$:
$c_{\text{в}} m_{\text{в}} (t_{\text{в1}} - t_{\text{кон}}) = c_{\text{л}} (2 m_{\text{в}}) (t_{\text{кон}} - t_{\text{л1}}) + \lambda \Delta m_{\text{л}}$

Выразим искомую массу воды $m_{\text{в}}$:
$c_{\text{в}} m_{\text{в}} (t_{\text{в1}} - t_{\text{кон}}) - 2 c_{\text{л}} m_{\text{в}} (t_{\text{кон}} - t_{\text{л1}}) = \lambda \Delta m_{\text{л}}$
$m_{\text{в}} [c_{\text{в}} (t_{\text{в1}} - t_{\text{кон}}) - 2 c_{\text{л}} (t_{\text{кон}} - t_{\text{л1}})] = \lambda \Delta m_{\text{л}}$
$m_{\text{в}} = \frac{\lambda \Delta m_{\text{л}}}{c_{\text{в}} (t_{\text{в1}} - t_{\text{кон}}) - 2 c_{\text{л}} (t_{\text{кон}} - t_{\text{л1}})}$

Вычисления:
$m_{\text{в}} = \frac{330000 \cdot 0,105}{4200 \cdot (40 - 0) - 2 \cdot 2100 \cdot (0 - (-10))}$
$m_{\text{в}} = \frac{34650}{4200 \cdot 40 - 4200 \cdot 10}$
$m_{\text{в}} = \frac{34650}{168000 - 42000} = \frac{34650}{126000} = 0,275 \text{ кг}$

Переведем в граммы: $0,275 \text{ кг} = 275 \text{ г}$.

Ответ: 275 г

Источник: ФИПИ