Задание №20 — ТЕПЛОВЫЕ ЯВЛЕНИЯ

Решение.

Для решения задачи воспользуемся уравнением теплового баланса. Согласно условию, потерями теплоты в окружающую среду и теплоёмкостью самого калориметра можно пренебречь. Это значит, что всё количество теплоты, которое отдаст горячая вода, будет получено холодной алюминиевой ложкой.

Дано:
$m_{1} = 200 \text{ г} = 0,2 \text{ кг}$ (масса воды)
$t_{1} = 85 \text{ }^\circ\text{C}$ (начальная температура воды)
$m_{2} = 14 \text{ г} = 0,014 \text{ кг}$ (масса ложки)
$t_{2} = 20 \text{ }^\circ\text{C}$ (начальная температура ложки)
$c_{1} = 4200 \text{ Дж/(кг}\cdot^\circ\text{C)}$ (удельная теплоёмкость воды)
$c_{2} = 920 \text{ Дж/(кг}\cdot^\circ\text{C)}$ (удельная теплоёмкость алюминия)
Найти:
$\Delta t_{1} = ?$ (изменение температуры воды)

Математическая модель и расчёты:
1. Пусть $\theta$ — конечная температура системы (воды и ложки) после установления теплового равновесия.
2. Количество теплоты, отданное водой при остывании:
$Q_{1} = c_{1} m_{1} (t_{1} - \theta)$
Заметим, что величина $(t_{1} - \theta)$ и есть искомое понижение температуры воды $\Delta t_{1}$. Тогда:
$Q_{1} = c_{1} m_{1} \Delta t_{1}$
3. Количество теплоты, полученное алюминиевой ложкой при нагревании:
$Q_{2} = c_{2} m_{2} (\theta - t_{2})$
Выразим $\theta$ через $\Delta t_{1}$. Так как $\Delta t_{1} = t_{1} - \theta$, то $\theta = t_{1} - \Delta t_{1}$.
Подставим это в формулу для $Q_{2}$:
$Q_{2} = c_{2} m_{2} (t_{1} - \Delta t_{1} - t_{2})$
4. Составим уравнение теплового баланса:
$Q_{1} = Q_{2}$
$c_{1} m_{1} \Delta t_{1} = c_{2} m_{2} (t_{1} - t_{2} - \Delta t_{1})$
5. Раскроем скобки и сгруппируем слагаемые с $\Delta t_{1}$:
$c_{1} m_{1} \Delta t_{1} = c_{2} m_{2} (t_{1} - t_{2}) - c_{2} m_{2} \Delta t_{1}$
$c_{1} m_{1} \Delta t_{1} + c_{2} m_{2} \Delta t_{1} = c_{2} m_{2} (t_{1} - t_{2})$
$\Delta t_{1} (c_{1} m_{1} + c_{2} m_{2}) = c_{2} m_{2} (t_{1} - t_{2})$
6. Выведем итоговую формулу для расчёта:
$\Delta t_{1} = \frac{c_{2} m_{2} (t_{1} - t_{2})}{c_{1} m_{1} + c_{2} m_{2}}$
7. Подставим числовые значения:
$\Delta t_{1} = \frac{920 \cdot 0,014 \cdot (85 - 20)}{4200 \cdot 0,2 + 920 \cdot 0,014}$
$\Delta t_{1} = \frac{12,88 \cdot 65}{840 + 12,88} = \frac{837,2}{852,88} \approx 0,9816 \dots \text{ }^\circ\text{C}$
Округлим результат до десятых долей градуса: $\Delta t_{1} \approx 1,0 \text{ }^\circ\text{C}$.

Ответ: температура воды понизится примерно на $1 \text{ }^\circ\text{C}$.

Источник: ФИПИ