Задание №22 — ТЕПЛОВЫЕ ЯВЛЕНИЯ

Решение.

Для решения задачи воспользуемся законом сохранения энергии. Электрический ток, протекая по спирали, совершает работу, которая полностью переходит в количество теплоты, идущее на нагревание калориметра и воды (так как потерями энергии можно пренебречь).

Дано:
$m_{1} = 50 \text{ г} = 0,05 \text{ кг}$ (масса алюминиевого калориметра)
$m_{2} = 120 \text{ г} = 0,12 \text{ кг}$ (масса воды)
$R = 2 \text{ Ом}$ (сопротивление спирали)
$U = 15 \text{ В}$ (напряжение)
$\Delta t = 9 \text{ }^{\circ}\text{C}$ (изменение температуры)
$c_{1} = 920 \text{ Дж/(кг}\cdot\text{}^{\circ}\text{C)}$ (удельная теплоемкость алюминия)
$c_{2} = 4200 \text{ Дж/(кг}\cdot\text{}^{\circ}\text{C)}$ (удельная теплоемкость воды)
$\tau - ?$ (время нагревания)

Физические законы и формулы:
1. Количество теплоты $Q$, выделившееся в проводнике при протекании электрического тока, определяется законом Джоуля-Ленца. Через напряжение и сопротивление формула записывается так:
$Q = \frac{U^{2}}{R} \cdot \tau$
2. Количество теплоты, необходимое для нагревания тела массой $m$ на $\Delta t$ градусов:
$Q = c \cdot m \cdot \Delta t$
3. Общее количество теплоты, полученное системой (калориметр + вода):
$Q_{общ} = Q_{1} + Q_{2} = c_{1} \cdot m_{1} \cdot \Delta t + c_{2} \cdot m_{2} \cdot \Delta t$
Вынесем общий множитель за скобки:
$Q_{общ} = (c_{1} \cdot m_{1} + c_{2} \cdot m_{2}) \cdot \Delta t$

Вывод рабочей формулы:
Приравняем выделившуюся энергию к затраченной на нагрев:
$\frac{U^{2}}{R} \cdot \tau = (c_{1} \cdot m_{1} + c_{2} \cdot m_{2}) \cdot \Delta t$
Отсюда выразим время $\tau$:
$\tau = \frac{(c_{1} \cdot m_{1} + c_{2} \cdot m_{2}) \cdot \Delta t \cdot R}{U^{2}}$

Подстановка числовых значений:
$\tau = \frac{(920 \cdot 0,05 + 4200 \cdot 0,12) \cdot 9 \cdot 2}{15^{2}}$
Выполним промежуточные вычисления:
1) $920 \cdot 0,05 = 46 \text{ Дж/}^{\circ}\text{C}$
2) $4200 \cdot 0,12 = 504 \text{ Дж/}^{\circ}\text{C}$
3) $46 + 504 = 550 \text{ Дж/}^{\circ}\text{C}$
4) $\tau = \frac{550 \cdot 9 \cdot 2}{225} = \frac{550 \cdot 18}{225} = \frac{9900}{225} = 44 \text{ с}$

Проверим размерность:
$[\tau] = \frac{\text{Дж/}^{\circ}\text{C} \cdot \text{}^{\circ}\text{C} \cdot \text{Ом}}{\text{В}^{2}} = \frac{\text{Дж} \cdot \text{Ом}}{\text{В}^{2}} = \frac{\text{А} \cdot \text{В} \cdot \text{с} \cdot \text{В/А}}{\text{В}^{2}} = \text{с}$

Ответ: $44 \text{ с}$

Источник: ФИПИ