Задание №22 — МЕХАНИЧЕСКИЕ ЯВЛЕНИЯ

Решение.

Данная задача разбивается на два этапа: взаимодействие конькобежца с предметом (закон сохранения импульса) и последующее движение конькобежца под действием силы трения (закон сохранения энергии или кинематика с динамикой).

Дано:
$M = 60$ кг — масса конькобежца
$m = 1$ кг — масса предмета
$v = 24$ м/с — скорость предмета
$S = 40$ см $= 0,4$ м — путь отката конькобежца
$g = 10$ м/с² — ускорение свободного падения
$V_0 = 0$ м/с — начальная скорость системы
$V_{final} = 0$ м/с — конечная скорость конькобежца
Найти:
$\mu$ — ?

1. Применим закон сохранения импульса.
В момент броска система «конькобежец + предмет» замкнута в горизонтальном направлении (внешние силы трения пренебрежимо малы за время броска). До броска система покоилась, значит, суммарный импульс равен нулю. После броска предмет летит в одну сторону, а конькобежец откатывается в противоположную.
В проекции на направление движения предмета:
$0 = m \cdot v - M \cdot V$,
где $V$ — скорость, которую приобрел конькобежец сразу после броска.
Отсюда выразим скорость конькобежца:
$V = \frac{m \cdot v}{M}$.

2. Рассмотрим движение конькобежца после броска.
На конькобежца действует сила трения $F_{тр} = \mu \cdot N = \mu \cdot M \cdot g$.
Согласно теореме об изменении кинетической энергии, работа силы трения равна изменению кинетической энергии конькобежца:
$A_{тр} = \Delta E_k$,
$-F_{тр} \cdot S = 0 - \frac{M \cdot V^2}{2}$,
$\mu \cdot M \cdot g \cdot S = \frac{M \cdot V^2}{2}$.
Сократим на массу $M$ и выразим коэффициент трения:
$\mu = \frac{V^2}{2 \cdot g \cdot S}$.

3. Выведем итоговую формулу.
Подставим выражение для $V$ из первого пункта в формулу для $\mu$:
$\mu = \frac{(\frac{m \cdot v}{M})^2}{2 \cdot g \cdot S} = \frac{m^2 \cdot v^2}{2 \cdot g \cdot S \cdot M^2}$.

4. Произведем расчеты.
$\mu = \frac{1^2 \cdot 24^2}{2 \cdot 10 \cdot 0,4 \cdot 60^2} = \frac{576}{8 \cdot 3600} = \frac{576}{28800} = 0,02$.

Проверим размерность:
$[\mu] = \frac{кг^2 \cdot (м/с)^2}{м/с^2 \cdot м \cdot кг^2} = \frac{м^2/с^2}{м^2/с^2} = 1$ (безразмерная величина, что соответствует физическому смыслу коэффициента трения).

Ответ: $\mu = 0,02$

Источник: ФИПИ