Задание №22 — ТЕПЛОВЫЕ ЯВЛЕНИЯ

Решение.

Для решения задачи проанализируем процессы теплообмена. Электрический нагреватель выделяет энергию, часть которой идёт на нагревание калориметра и воды, а часть теряется в окружающую среду.

Дано:
$m_{1} = 50 \text{ г} = 0,05 \text{ кг}$ (масса алюминиевого калориметра)
$m_{2} = 120 \text{ г} = 0,12 \text{ кг}$ (масса воды)
$P = 12,5 \text{ Вт}$ (мощность нагревателя)
$\Delta t = 24 \text{ }^{\circ}\text{C}$ (изменение температуры)
$k = 20\% = 0,2$ (коэффициент тепловых потерь)
$c_{1} = 920 \text{ Дж/(кг}\cdot\text{}^{\circ}\text{C)}$ (удельная теплоёмкость алюминия)
$c_{2} = 4200 \text{ Дж/(кг}\cdot\text{}^{\circ}\text{C)}$ (удельная теплоёмкость воды)
$\tau - ?$ (время нагрева)

Математическое описание и законы:
1. Полная энергия (работа электрического тока), выделяемая нагревателем за время $\tau$:
$Q_{\text{полн}} = P \cdot \tau$

2. Часть энергии теряется, значит, на нагревание идёт полезная энергия $Q_{\text{полезн}}$. Если потери составляют $k$, то полезная доля энергии составляет $\eta = 1 - k$:
$Q_{\text{полезн}} = (1 - k) \cdot Q_{\text{полн}} = (1 - k) \cdot P \cdot \tau$

3. Количество теплоты, необходимое для нагревания калориметра и воды на $\Delta t$:
$Q_{\text{нагр}} = Q_{1} + Q_{2}$
$Q_{\text{нагр}} = c_{1} \cdot m_{1} \cdot \Delta t + c_{2} \cdot m_{2} \cdot \Delta t = (c_{1} m_{1} + c_{2} m_{2}) \cdot \Delta t$

4. Составим уравнение теплового баланса (полезная энергия нагревателя равна энергии, поглощённой системой):
$(1 - k) \cdot P \cdot \tau = (c_{1} m_{1} + c_{2} m_{2}) \cdot \Delta t$

Вывод рабочей формулы:
Выразим время $\tau$:
$\tau = \frac{(c_{1} m_{1} + c_{2} m_{2}) \cdot \Delta t}{(1 - k) \cdot P}$

Вычисления:
Подставим числовые значения в СИ:
$\tau = \frac{(920 \cdot 0,05 + 4200 \cdot 0,12) \cdot 24}{(1 - 0,2) \cdot 12,5}$
$\tau = \frac{(46 + 504) \cdot 24}{0,8 \cdot 12,5}$
$\tau = \frac{550 \cdot 24}{10} = 55 \cdot 24 = 1320 \text{ с}$

Переведём в минуты для наглядности:
$1320 \text{ с} = \frac{1320}{60} \text{ мин} = 22 \text{ мин}$

Проверка размерности:
$[\tau] = \frac{(\frac{\text{Дж}}{\text{кг}\cdot\text{}^{\circ}\text{C}} \cdot \text{кг} + \frac{\text{Дж}}{\text{кг}\cdot\text{}^{\circ}\text{C}} \cdot \text{кг}) \cdot \text{}^{\circ}\text{C}}{\text{Вт}} = \frac{\text{Дж}}{\text{Дж/с}} = \text{с}$

Ответ: $\tau = 1320 \text{ с}$ (или 22 минуты).

Источник: ФИПИ