Задание №21 — МЕХАНИЧЕСКИЕ ЯВЛЕНИЯ

Решение.

Дано:
$\rho_{к} = 900 \, \frac{кг}{м^{3}}$ — плотность кубика
$\rho_{в} = 1000 \, \frac{кг}{м^{3}}$ — плотность воды
$\rho_{кер} = 800 \, \frac{кг}{м^{3}}$ — плотность керосина
$h_{в} = 4 \, см = 0,04 \, м$ — глубина погружения в воду
$g = 10 \, \frac{м}{с^{2}}$ — ускорение свободного падения
Найти:
$a$ — ? (длина ребра кубика)

Рассуждение и законы:
1. Кубик находится в равновесии (плавает) на границе раздела двух жидкостей. Согласно условию плавания тел, сила тяжести, действующая на кубик, уравновешивается выталкивающей силой (силой Архимеда).
2. Сила Архимеда в данном случае складывается из двух частей: силы со стороны вытесненной воды и силы со стороны вытесненного керосина:
$F_{А} = F_{А1} + F_{А2}$, где
$F_{А1} = \rho_{в} \cdot g \cdot V_{в}$ (выталкивающая сила воды),
$F_{А2} = \rho_{кер} \cdot g \cdot V_{кер}$ (выталкивающая сила керосина).
3. Пусть $a$ — длина ребра кубика. Тогда площадь его основания $S = a^{2}$, а полный объем $V = a^{3}$.
Объем части кубика в воде: $V_{в} = S \cdot h_{в} = a^{2} \cdot h_{в}$.
Объем части кубика в керосине: $V_{кер} = S \cdot (a - h_{в}) = a^{2} \cdot (a - h_{в})$.
4. Сила тяжести, действующая на кубик: $F_{т} = m \cdot g = \rho_{к} \cdot V \cdot g = \rho_{к} \cdot a^{3} \cdot g$.

Вывод формулы:
Запишем уравнение равновесия:
$F_{т} = F_{А1} + F_{А2}$
$\rho_{к} \cdot a^{3} \cdot g = \rho_{в} \cdot g \cdot a^{2} \cdot h_{в} + \rho_{кер} \cdot g \cdot a^{2} \cdot (a - h_{в})$
Разделим обе части уравнения на $g \cdot a^{2}$ (так как $a \neq 0$):
$\rho_{к} \cdot a = \rho_{в} \cdot h_{в} + \rho_{кер} \cdot (a - h_{в})$
Раскроем скобки:
$\rho_{к} \cdot a = \rho_{в} \cdot h_{в} + \rho_{кер} \cdot a - \rho_{кер} \cdot h_{в}$
Перенесем слагаемые с $a$ в левую часть, а с $h_{в}$ — в правую:
$\rho_{к} \cdot a - \rho_{кер} \cdot a = \rho_{в} \cdot h_{в} - \rho_{кер} \cdot h_{в}$
$a \cdot (\rho_{к} - \rho_{кер}) = h_{в} \cdot (\rho_{в} - \rho_{кер})$
Отсюда выражаем искомую длину ребра:
$a = h_{в} \cdot \frac{\rho_{в} - \rho_{кер}}{\rho_{к} - \rho_{кер}}$

Вычисления:
$a = 0,04 \, м \cdot \frac{1000 \, \frac{кг}{м^{3}} - 800 \, \frac{кг}{м^{3}}}{900 \, \frac{кг}{м^{3}} - 800 \, \frac{кг}{м^{3}}} = 0,04 \, м \cdot \frac{200}{100} = 0,04 \, м \cdot 2 = 0,08 \, м$.
Переведем в сантиметры: $0,08 \, м = 8 \, см$.

Ответ: 8 см

Источник: ФИПИ