Задание №20 — МЕХАНИЧЕСКИЕ ЯВЛЕНИЯ

Решение.

Для решения задачи воспользуемся условием плавания тел и законом Архимеда. Если тело плавает на поверхности жидкости, то сила тяжести, действующая на него, уравновешивается выталкивающей силой (силой Архимеда).

Дано:
$V = 0,04 \text{ м}^3$ — полный объём тела (вместе с полостью);
$V_{\text{погр}} = 0,54 V$ — объём погруженной части тела;
$\rho_{\text{в}} = 1000 \text{ кг/м}^3$ — плотность воды;
$\rho_{\text{ал}} = 2700 \text{ кг/м}^3$ — плотность алюминия;
$g = 10 \text{ Н/кг}$ — ускорение свободного падения.
Найти:
$V_{\text{пол}}$ — ?

Математическая модель и вычисления:

1. Запишем условие равновесия тела (условие плавания):
$F_{\text{А}} = m \cdot g$,
где $F_{\text{А}}$ — сила Архимеда, $m$ — масса алюминиевой части тела (так как массой воздуха в полости мы пренебрегаем).

2. Сила Архимеда определяется по формуле:
$F_{\text{А}} = \rho_{\text{в}} \cdot g \cdot V_{\text{погр}}$.
Подставим выражение для погруженной части: $V_{\text{погр}} = 0,54 V$.
Тогда $F_{\text{А}} = \rho_{\text{в}} \cdot g \cdot 0,54 V$.

3. Массу тела можно выразить через плотность алюминия и объём самого металла:
$m = \rho_{\text{ал}} \cdot V_{\text{ал}}$.
Объём алюминия равен разности полного объёма тела и объёма полости:
$V_{\text{ал}} = V - V_{\text{пол}}$.
Следовательно, $m = \rho_{\text{ал}} \cdot (V - V_{\text{пол}})$.

4. Подставим выражения для силы Архимеда и массы в условие равновесия:
$\rho_{\text{в}} \cdot g \cdot 0,54 V = \rho_{\text{ал}} \cdot (V - V_{\text{пол}}) \cdot g$.
Сократим обе части уравнения на $g$:
$0,54 \cdot \rho_{\text{в}} \cdot V = \rho_{\text{ал}} \cdot (V - V_{\text{пол}})$.

5. Выразим объём полости $V_{\text{пол}}$:
Разделим на $\rho_{\text{ал}}$:
$\frac{0,54 \cdot \rho_{\text{в}} \cdot V}{\rho_{\text{ал}}} = V - V_{\text{пол}}$,
$V_{\text{пол}} = V - \frac{0,54 \cdot \rho_{\text{в}} \cdot V}{\rho_{\text{ал}}}$,
$V_{\text{пол}} = V \cdot (1 - \frac{0,54 \cdot \rho_{\text{в}}}{\rho_{\text{ал}}})$.

6. Подставим числовые значения:
$V_{\text{пол}} = 0,04 \text{ м}^3 \cdot (1 - \frac{0,54 \cdot 1000 \text{ кг/м}^3}{2700 \text{ кг/м}^3})$,
$V_{\text{пол}} = 0,04 \cdot (1 - \frac{540}{2700})$,
$V_{\text{пол}} = 0,04 \cdot (1 - 0,2)$,
$V_{\text{пол}} = 0,04 \cdot 0,8 = 0,032 \text{ м}^3$.

Ответ: $V_{\text{пол}} = 0,032 \text{ м}^3$.

Источник: ФИПИ