Задание №22 — ТЕПЛОВЫЕ ЯВЛЕНИЯ

Решение.

Дано:
$m_{1} = 50 \text{ г} = 0,05 \text{ кг}$ (масса калориметра)
$c_{1} = 920 \text{ Дж/(кг}\cdot\text{°C)}$ (удельная теплоёмкость алюминия)
$m_{2} = 120 \text{ г} = 0,12 \text{ кг}$ (масса воды)
$c_{2} = 4200 \text{ Дж/(кг}\cdot\text{°C)}$ (удельная теплоёмкость воды)
$R = 2 \text{ Ом}$ (сопротивление спирали)
$U = 5 \text{ В}$ (напряжение)
$\Delta t = 12 \text{ °C}$ (изменение температуры)
$k = 20\% = 0,2$ (коэффициент потерь)
$\tau - ?$ (время)

Анализ и физические законы:
1. При протекании электрического тока через спираль выделяется количество теплоты $Q_{\text{полн}}$, которое определяется законом Джоуля-Ленца: $Q_{\text{полн}} = \frac{U^{2}}{R} \cdot \tau$.
2. Часть этой энергии теряется в окружающую среду. Полезная энергия $Q_{\text{полезн}}$, идущая на нагрев, составляет $100\% - 20\% = 80\%$ от полной энергии. Обозначим КПД установки как $\eta = 1 - k = 0,8$. Тогда $Q_{\text{полезн}} = \eta \cdot Q_{\text{полн}}$.
3. Теплота, необходимая для нагревания калориметра и воды: $Q_{\text{нагр}} = (c_{1}m_{1} + c_{2}m_{2}) \cdot \Delta t$.
4. Составим уравнение теплового баланса: $Q_{\text{нагр}} = Q_{\text{полезн}}$.

Вывод рабочей формулы:
$(c_{1}m_{1} + c_{2}m_{2}) \cdot \Delta t = \eta \cdot \frac{U^{2}}{R} \cdot \tau$
Отсюда выразим время $\tau$:
$\tau = \frac{(c_{1}m_{1} + c_{2}m_{2}) \cdot \Delta t \cdot R}{\eta \cdot U^{2}}$

Вычисления:
Подставим числовые значения в СИ:
$\tau = \frac{(920 \cdot 0,05 + 4200 \cdot 0,12) \cdot 12 \cdot 2}{0,8 \cdot 5^{2}}$
1) Найдём теплоёмкость системы: $920 \cdot 0,05 + 4200 \cdot 0,12 = 46 + 504 = 550 \text{ Дж/°C}$.
2) Найдём числитель: $550 \cdot 12 \cdot 2 = 13200 \text{ Дж}$.
3) Найдём знаменатель: $0,8 \cdot 25 = 20 \text{ Вт}$.
4) Итоговое время: $\tau = \frac{13200}{20} = 660 \text{ с}$.

Переведём в минуты: $660 \text{ с} = 11 \text{ мин}$.

Ответ: 660 с (или 11 мин).

Источник: ФИПИ