Задание №22 — МЕХАНИЧЕСКИЕ ЯВЛЕНИЯ

Решение.

Для решения задачи воспользуемся законом сохранения импульса и законом сохранения энергии (с учётом выделения теплоты при неупругом ударе).

Дано:
$m_1 = 6 \text{ кг}$
$m_2 = 4 \text{ кг}$
$v_1 = v_2 = v$ (модули скоростей до удара равны)
$Q = 19,2 \text{ Дж}$
Найти: $v$ — ?

1. Закон сохранения импульса.
Так как шары движутся навстречу друг другу, направим ось $Ox$ вдоль движения первого шара. Тогда проекция скорости первого шара $v_{1x} = v$, а второго $v_{2x} = -v$. После соударения шары движутся вместе как одно целое с некоторой скоростью $u$.
Запишем закон сохранения импульса в проекции на ось $Ox$:
$m_1 v - m_2 v = (m_1 + m_2) u$
Отсюда выразим скорость шаров после удара $u$:
$u = \frac{(m_1 - m_2) v}{m_1 + m_2}$

2. Закон сохранения энергии.
При абсолютно неупругом ударе часть кинетической энергии системы переходит во внутреннюю энергию (выделяется теплота $Q$).
Закон сохранения энергии выглядит так:
$E_{k1} + E_{k2} = E_{k12} + Q$, где:
$E_{k1} + E_{k2} = \frac{m_1 v^2}{2} + \frac{m_2 v^2}{2}$ — суммарная кинетическая энергия шаров до удара;
$E_{k12} = \frac{(m_1 + m_2) u^2}{2}$ — кинетическая энергия слипшихся шаров после удара.
Следовательно:
$\frac{(m_1 + m_2) v^2}{2} = \frac{(m_1 + m_2) u^2}{2} + Q$

3. Вывод рабочей формулы.
Подставим выражение для $u$ из первого пункта в уравнение энергии:
$\frac{(m_1 + m_2) v^2}{2} = \frac{(m_1 + m_2)}{2} \cdot \left( \frac{(m_1 - m_2) v}{m_1 + m_2} \right)^2 + Q$
$\frac{(m_1 + m_2) v^2}{2} = \frac{(m_1 - m_2)^2 v^2}{2(m_1 + m_2)} + Q$
Выразим $Q$:
$Q = \frac{v^2}{2} \cdot \left( (m_1 + m_2) - \frac{(m_1 - m_2)^2}{m_1 + m_2} \right)$
Приведем к общему знаменателю в скобках:
$Q = \frac{v^2}{2} \cdot \frac{(m_1 + m_2)^2 - (m_1 - m_2)^2}{m_1 + m_2}$
Используя формулу разности квадратов или раскрыв скобки ($m_1^2 + 2m_1m_2 + m_2^2 - (m_1^2 - 2m_1m_2 + m_2^2) = 4m_1m_2$), получим:
$Q = \frac{v^2}{2} \cdot \frac{4 m_1 m_2}{m_1 + m_2} = \frac{2 m_1 m_2 v^2}{m_1 + m_2}$
Отсюда выразим искомую скорость $v$:
$v^2 = \frac{Q (m_1 + m_2)}{2 m_1 m_2}$
$v = \sqrt{\frac{Q (m_1 + m_2)}{2 m_1 m_2}}$

4. Расчет.
Подставим числовые значения:
$v = \sqrt{\frac{19,2 \cdot (6 + 4)}{2 \cdot 6 \cdot 4}} = \sqrt{\frac{19,2 \cdot 10}{48}} = \sqrt{\frac{192}{48}} = \sqrt{4} = 2 \text{ м/с}$

Проверка размерности:
$[v] = \sqrt{\frac{\text{Дж} \cdot \text{кг}}{\text{кг} \cdot \text{кг}}} = \sqrt{\frac{\text{кг} \cdot \text{м}^2 / \text{с}^2}{\text{кг}}} = \sqrt{\text{м}^2 / \text{с}^2} = \text{м/с}$

Ответ: $v = 2 \text{ м/с}$

Источник: ФИПИ