Задание №20 — МЕХАНИЧЕСКИЕ ЯВЛЕНИЯ

Решение.

Дано:
$m_1 = 4$ кг — масса первого шара;
$m_2 = 4$ кг — масса второго шара;
$v_1 = v$ — начальная скорость первого шара;
$v_2 = 0$ — начальная скорость второго шара (покоился);
$m_1 = m_2 = m$.
Найти: $\frac{E_{k1}}{E_{k2}}$.

Анализ и физические законы:
1. При соударении шаров, после которого они движутся как одно целое, происходит абсолютно неупругий удар. В замкнутой системе (вдоль горизонтальной оси) выполняется закон сохранения импульса.
2. Кинетическая энергия тела массой $m$, движущегося со скоростью $v$, определяется по формуле: $E_k = \frac{mv^2}{2}$.
3. После удара шары движутся вместе с общей скоростью $u$, а их общая масса равна $m_1 + m_2$.

Вывод формул и расчёт:
1. Запишем закон сохранения импульса в проекции на направление движения первого шара:
$m_1 v_1 + m_2 v_2 = (m_1 + m_2) u$
Так как $m_1 = m_2 = m$ и $v_2 = 0$, получаем:
$m \cdot v = (m + m) \cdot u$
$m \cdot v = 2m \cdot u$
Отсюда выразим скорость шаров после удара:
$u = \frac{m \cdot v}{2m} = \frac{v}{2}$.

2. Определим начальную кинетическую энергию системы (до удара):
Так как второй шар покоился, энергия системы равна энергии первого шара:
$E_{k1} = \frac{m v^2}{2}$.

3. Определим конечную кинетическую энергию системы (после удара):
$E_{k2} = \frac{(m_1 + m_2) u^2}{2} = \frac{2m \cdot u^2}{2} = m \cdot u^2$
Подставим найденное значение скорости $u = \frac{v}{2}$:
$E_{k2} = m \cdot (\frac{v}{2})^2 = m \cdot \frac{v^2}{4} = \frac{mv^2}{4}$.

4. Найдем отношение начальной кинетической энергии к конечной:
$\frac{E_{k1}}{E_{k2}} = \frac{mv^2}{2} : \frac{mv^2}{4} = \frac{mv^2}{2} \cdot \frac{4}{mv^2} = \frac{4}{2} = 2$.

Таким образом, кинетическая энергия системы уменьшилась в 2 раза.

Ответ: в 2 раза.

Источник: ФИПИ