Задание №22 — ТЕПЛОВЫЕ ЯВЛЕНИЯ

Решение.

Для решения задачи проанализируем процессы, происходящие в системе. Электрический ток, проходя по спирали, выделяет количество теплоты (закон Джоуля — Ленца). Часть этой энергии теряется в окружающую среду, а оставшаяся часть идёт на нагревание калориметра и воды в нём.

Дано:
$m_{1} = 50 \text{ г} = 0,05 \text{ кг}$ (масса алюминиевого калориметра)
$m_{2} = 120 \text{ г} = 0,12 \text{ кг}$ (масса воды)
$R = 2 \text{ Ом}$ (сопротивление спирали)
$U = 5 \text{ В}$ (напряжение)
$t = 11 \text{ мин} = 660 \text{ с}$ (время работы)
$k = 20\% = 0,2$ (коэффициент потерь)
$c_{1} = 920 \text{ Дж/(кг}\cdot\text{°C)}$ (удельная теплоемкость алюминия)
$c_{2} = 4200 \text{ Дж/(кг}\cdot\text{°C)}$ (удельная теплоемкость воды)
$\Delta T - ?$ (изменение температуры)

Физические законы и вычисления:

1. Полное количество теплоты $Q_{\text{полн}}$, выделяемое спиралью при прохождении тока, определяется по закону Джоуля — Ленца:
$Q_{\text{полн}} = \frac{U^{2}}{R} \cdot t$

2. По условию потери составляют $20\%$. Значит, на нагревание системы (полезная энергия) идёт $80\%$ от всей выделившейся энергии. Обозначим долю полезной энергии как $\eta = 1 - k = 0,8$.
$Q_{\text{пол}} = \eta \cdot Q_{\text{полн}} = \eta \cdot \frac{U^{2}}{R} \cdot t$

3. Количество теплоты, необходимое для нагревания калориметра и воды на $\Delta T$:
$Q_{\text{нагр}} = (c_{1} \cdot m_{1} + c_{2} \cdot m_{2}) \cdot \Delta T$

4. Составим уравнение теплового баланса (энергия, полученная системой, равна полезной работе тока):
$(c_{1} \cdot m_{1} + c_{2} \cdot m_{2}) \cdot \Delta T = \eta \cdot \frac{U^{2}}{R} \cdot t$

5. Выразим искомую величину $\Delta T$:
$\Delta T = \frac{\eta \cdot U^{2} \cdot t}{R \cdot (c_{1} \cdot m_{1} + c_{2} \cdot m_{2})}$

6. Подставим числовые значения:
$\Delta T = \frac{0,8 \cdot 5^{2} \cdot 660}{2 \cdot (920 \cdot 0,05 + 4200 \cdot 0,12)}$
$\Delta T = \frac{0,8 \cdot 25 \cdot 660}{2 \cdot (46 + 504)}$
$\Delta T = \frac{13200}{2 \cdot 550} = \frac{13200}{1100} = 12 \text{ °C}$

Проверим размерность:
$[\Delta T] = \frac{\text{В}^{2} \cdot \text{с}}{\text{Ом} \cdot \text{Дж/°C}} = \frac{\text{Вт} \cdot \text{с}}{\text{Дж/°C}} = \frac{\text{Дж}}{\text{Дж/°C}} = \text{°C}$. Размерность верна.

Ответ: калориметр с водой нагреется на $12 \text{ °C}$.

Источник: ФИПИ