Задание №21 — МЕХАНИЧЕСКИЕ ЯВЛЕНИЯ

Решение.

Для решения задачи воспользуемся законом сохранения и изменения механической энергии. Обозначим начальное состояние шарика (момент броска) цифрой 1, состояние непосредственно перед ударом о землю — цифрой 2, состояние сразу после удара — цифрой 3, и состояние в высшей точке подъёма после отскока — цифрой 4.

Дано:
$h_1 = 1,25 \text{ м}$
$h_2 = 3h_1$
$\Delta E = 0,4 E_{\text{до}}$ (потеря энергии составляет $40\%$)
$g = 10 \text{ м/с}^2$
$v_2 = 0 \text{ м/с}$ (скорость в высшей точке подъёма)
Найти:
$v_0$ — ?

Перевод в СИ:
Величины уже даны в системе СИ.

Анализ и решение:
1. Полная механическая энергия шарика в момент броска (состояние 1) на высоте $h_1$ относительно земли состоит из кинетической и потенциальной энергий:
$E_1 = \frac{mv_0^2}{2} + mgh_1$.
Так как сопротивлением воздуха мы пренебрегаем, эта энергия сохраняется до самого момента удара о землю ($E_{\text{до}} = E_1$).

2. В момент удара о землю часть энергии теряется. По условию теряется $40\%$ энергии, значит, после удара у шарика остается $100\% - 40\% = 60\%$ от его первоначальной механической энергии:
$E_{\text{после}} = 0,6 E_{\text{до}}$.
Следовательно, энергия шарика сразу после отскока (состояние 3) равна:
$E_3 = 0,6 \left( \frac{mv_0^2}{2} + mgh_1 \right)$.

3. После отскока шарик поднимается на максимальную высоту $h_2$. В этой точке (состояние 4) его скорость равна нулю, и вся механическая энергия переходит в потенциальную:
$E_4 = mgh_2$.
По закону сохранения механической энергии для движения после удара (сопротивления воздуха нет):
$E_3 = E_4$.
Подставим выражения для энергий:
$0,6 \left( \frac{mv_0^2}{2} + mgh_1 \right) = mgh_2$.

4. Выразим искомую скорость $v_0$. Сначала сократим массу $m$, так как она отлична от нуля:
$0,6 \left( \frac{v_0^2}{2} + gh_1 \right) = gh_2$.
Разделим обе части на $0,6$:
$\frac{v_0^2}{2} + gh_1 = \frac{gh_2}{0,6}$.
Перенесем $gh_1$ в правую часть:
$\frac{v_0^2}{2} = \frac{gh_2}{0,6} - gh_1$.
Учитывая, что по условию $h_2 = 3h_1$, подставим это значение:
$\frac{v_0^2}{2} = \frac{g \cdot 3h_1}{0,6} - gh_1$.
Заметим, что $\frac{3}{0,6} = 5$, тогда:
$\frac{v_0^2}{2} = 5gh_1 - gh_1 = 4gh_1$.
Отсюда получаем рабочую формулу:
$v_0^2 = 8gh_1$
$v_0 = \sqrt{8gh_1}$.

5. Подставим числовые значения:
$v_0 = \sqrt{8 \cdot 10 \text{ м/с}^2 \cdot 1,25 \text{ м}} = \sqrt{100 \text{ м}^2/\text{с}^2} = 10 \text{ м/с}$.

Проверка размерности:
$[v_0] = \sqrt{\frac{\text{м}}{\text{с}^2} \cdot \text{м}} = \sqrt{\frac{\text{м}^2}{\text{с}^2}} = \text{м/с}$. Размерность совпадает.

Ответ: $v_0 = 10 \text{ м/с}$.

Источник: ФИПИ