Задание 15 ЕГЭ по информатике: математическая логика

Задание 15 ЕГЭ по информатике (КЕГЭ) проверяет математическую логику — элемент содержания 2.7 кодификатора. Это задание повышенного уровня, за него дают 1 первичный балл, ответ — краткий, одно число, а файл к заданию не прилагается. В открытом банке задание встречается в двух устойчивых формах: отрезки на числовой прямой (нужно найти наибольшую или наименьшую длину отрезка $A$ , при которой формула с условиями $x \in A$ истинна при любом $x$ ) и делимость (формула с предикатами $\text{ДЕЛ}(n, m)$ , нужно найти наибольшее или наименьшее натуральное $A$ ). В статье — вся теория: таблица истинности импликации и главный приём «импликация ложна только в одном случае», преобразование $A \rightarrow B \equiv \neg A \lor B$ , законы де Моргана, метод «закрасить числовую прямую» для отрезков, приём через НОД и НОК для делимости и рабочий код полного перебора на Python. Дальше — три разобранных реальных задания из открытого банка ФИПИ и типичные ошибки. Потренироваться можно на реальных заданиях 15 ЕГЭ по информатике онлайн — с мгновенной проверкой ответа.

Что проверяет задание 15 ЕГЭ по информатике

КЭС 2.7 стоит в разделе кодификатора «Теоретические основы информатики» и охватывает работу с логическими высказываниями: связками $\neg, \land, \lor, \rightarrow, \equiv$ , таблицами истинности и предикатами — утверждениями, которые становятся высказываниями только после подстановки конкретного $x$ . Задание 15 — это не «посчитать одно значение», а найти границу параметра $A$ , при которой сложная формула с предикатом остаётся истинной сразу для всех допустимых $x$ . Именно слово «тождественно» или оборот «при любом значении переменной» — сигнал, что перебирать придётся не варианты ответа, а свойства всего множества $x$ .

Проверяемые умения (КЭС 2.7):

строить таблицу истинности логических связок, в первую очередь импликации $\rightarrow$ и эквивалентности $\equiv$ ;
выполнять равносильные преобразования: $A \rightarrow B \equiv \neg A \lor B$ , отрицание импликации, законы де Моргана;
работать с предикатом $x \in [a; b]$ и находить длину, границы или объединения отрезков на числовой прямой;
работать с предикатом делимости $\text{ДЕЛ}(n, m)$ и связывать его с НОД и НОК нескольких чисел;
находить наибольшее или наименьшее натуральное число $A$ , при котором формула тождественно истинна (или тождественно ложна) при любом значении переменной.

Задание 15 не требует специализированного программного обеспечения и не сопровождается файлом — все данные даны прямо в тексте условия, а на экзамене доступна среда программирования, поэтому любой ручной разбор всегда можно перепроверить перебором в две строчки кода. Проекты КИМ-2027 ФИПИ публикует в конце августа 2026 года, но структура и содержание работы не менялись с 2025 года, поэтому все цифры ниже приведены по актуальной спецификации ФИПИ 2026 года.

Параметр	Значение
Максимальный балл	1 первичный (ответ либо полностью совпал с эталоном, либо 0)
Уровень сложности	Повышенный (П)
Форма ответа	Краткая: одно число
Раздел кодификатора	2. Теоретические основы информатики; КЭС 2.7
Файл	Не прилагается, все данные — в тексте условия
Специализированное ПО	Не требуется
Рекомендуемое время	3 минуты (по обобщённому плану ФИПИ)
Связанные задания	Задание 2 (тот же КЭС 2.7, но таблицы истинности и логические схемы, базовый уровень), задание 14 (позиционные системы счисления, КЭС 2.3, повышенный уровень)

Тренируйтесь на реальных заданиях

Задания ЕГЭ по информатике из открытого банка ФИПИ с мгновенной проверкой ответа. Решаем, ошибаемся, разбираем — бесплатно.

Решать задание 15

Как выглядит формулировка

Формулировка задания 15 почти всегда состоит из двух частей: определение предиката (если используется $\text{ДЕЛ}$ ) и сама формула с вопросом «для какого наибольшего/наименьшего числа А». Вот реальные формулировки подтипа делимость из открытого банка ФИПИ:

«Обозначим через ДЕЛ(n, m) утверждение «натуральное число n делится без остатка на натуральное число m». Для какого наибольшего натурального числа А логическое выражение $\neg \text{ДЕЛ}(x, A) \rightarrow (\text{ДЕЛ}(x, 14) \rightarrow \neg \text{ДЕЛ}(x, 4))$ истинно (т.е. принимает значение 1) при любом целом положительном значении переменной х?»
«...Для какого наименьшего натурального числа А формула $(\text{ДЕЛ}(x, 2) \rightarrow \neg \text{ДЕЛ}(x, 3)) \lor (x + A \ge 100)$ тождественно истинна... при любом натуральном значении переменной х?»

А вот формулировки подтипа отрезки:

«На числовой прямой даны два отрезка: D = [17; 58] и C = [29; 80]. Укажите наименьшую возможную длину такого отрезка A, для которого логическое выражение $(x \in D) \rightarrow ((\neg(x \in C) \land \neg(x \in A)) \rightarrow \neg(x \in D))$ истинно (т. е. принимает значение 1) при любом значении переменной х.»

Слова «наибольшее» и «наименьшее» в условии — не формальность: перепутать их означает решить противоположную задачу. Так же важно различать «тождественно истинно» и «тождественно ложно» — во втором случае формула обязана быть ложной при любом $x$ , и искать нужно не покрытие, а его отсутствие.

Как записывается ответ. Ответ на задание 15 — одно натуральное (или целое неотрицательное) число, без слов, единиц измерения и пояснений. Никаких «А = » или «см» в ответе быть не должно — только число, как того требует форма ответа для заданий 1–25 КЕГЭ.

Теория: всё, что нужно для задания 15

Импликация: единственный случай лжи

Почти в каждой формуле задания 15 главная связка — импликация $A \rightarrow B$ («если А, то Б»). Вся логика задания строится на одном факте — таблице истинности:

A	B	A → B
0	0	1
0	1	1
1	0	0
1	1	1

Главный приём: импликация $A \rightarrow B$ ложна ровно в одном случае — когда посылка $A$ истинна, а следствие $B$ ложно. Во всех остальных трёх случаях она истинна.

Отсюда — стандартный ход решения всего задания 15: вместо того чтобы искать, когда громоздкая формула истинна, ищут когда она ложна (это всегда проще — условие лжи для импликации одно), а затем требуют, чтобы таких $x$ не нашлось ни одного. «Формула тождественно истинна» и «не существует x, при котором формула ложна» — одно и то же утверждение.

Равносильные преобразования

1. Импликация через дизъюнкцию

A \rightarrow B \;\equiv\; \neg A \lor B

Эта формула превращает импликацию в «или» — с дизъюнкцией проще искать, когда всё выражение ложно (для этого должны быть ложны оба слагаемых).

2. Отрицание импликации

\neg(A \rightarrow B) \;\equiv\; A \land \neg B

Именно эта формула и есть «условие лжи» из блока выше, записанное символами: импликация не выполняется, когда $A$ истинно, а $B$ ложно.

3. Законы де Моргана

\neg(P \land Q) \;\equiv\; \neg P \lor \neg Q

\neg(P \lor Q) \;\equiv\; \neg P \land \neg Q

Они нужны, когда после раскрытия импликации внутри формулы остаётся отрицание конъюнкции или дизъюнкции — например, в выражении $\neg(\neg(x \in C) \land \neg(x \in A))$ из примера 2 ниже: по де Моргану это $(x \in C) \lor (x \in A)$ , а не что-то более сложное. Частая ошибка — «протащить» отрицание внутрь конъюнкции, не поменяв её на дизъюнкцию: знак связки обязательно переключается.

Отрезки: метод «закрасить числовую прямую»

В этом подтипе предикат — принадлежность отрезку: $x \in D$ , $x \in C$ , $x \in A$ . Формула почти всегда сводится (после раскрытия импликаций и де Моргана по блокам выше) к простому требованию: каждая точка одного отрезка обязана лежать в одном из других. Дальше работает не алгебра, а картинка.

Шаги метода

нарисуйте числовую прямую и отметьте на ней все заданные отрезки одним слоем ниже другого — так виднее пересечения;
«закрасьте» (заштрихуйте) отрезок, который формула разрешает не покрывать отрезком $A$ — обычно это тот, что уже упомянут в условии как достаточный (в примере 2 ниже — отрезок $C$ );
незакрашенная часть отрезка, который обязан быть покрыт (например, $D$ ) — это проблемная зона: именно её должен целиком накрыть отрезок $A$ ;
минимальный (или, если спрашивают о наибольшей длине — максимальный при доп. ограничениях) отрезок $A$ — это отрезок ровно по границам проблемной зоны.

Маленький пример целиком

Пусть $D = [2; 10]$ , $C = [5; 15]$ , и формула требует, чтобы $(x \in D) \rightarrow ((x \in C) \lor (x \in A))$ была истинна при любом $x$ . Отрезок $C$ покрывает часть $D$ от 5 до 10, а промежуток $[2; 5)$ остаётся непокрытым — это и есть проблемная зона. Точки, сколь угодно близкие к 5 слева, всё ещё требуют покрытия, поэтому $A$ обязан содержать саму точку 5: минимальный подходящий отрезок — $A = [2; 5]$ , длина 3.

Ловушка: «длина отрезка» ≠ «количество точек»

Длина отрезка $[a; b]$ — это $b - a$ , а не количество целых точек в нём (их $b - a + 1$ , на единицу больше). Для $A = [2; 5]$ длина равна $5 - 2 = 3$ , хотя целых точек в нём четыре (2, 3, 4, 5). Спутав эти два числа, легко сдать ответ на единицу больше или меньше правильного — а «наибольшая длина отрезка» в вопросе не имеет никакого отношения к «наибольшему числу точек».

Делимость: приём через НОД и НОК

Предикат $\text{ДЕЛ}(n, m)$ истинен ровно тогда, когда $n$ кратно $m$ , то есть $n \bmod m = 0$ . Формулы этого подтипа почти всегда после раскрытия импликации по блоку 1 сводятся к условию вида «каждое $x$ , кратное и $p$ , и $q$ , обязано быть кратно $A$ ».

Ключевое правило: $\text{ДЕЛ}(x, p)$ и $\text{ДЕЛ}(x, q)$ одновременно истинны ровно на числах, кратных $\text{НОК}(p, q)$ . А «каждое кратное $L$ делится на $A$ » равносильно тому, что $A$ — делитель $L$ : ведь $L$ само является наименьшим таким кратным, и если бы $A$ не делило $L$ , само число $L$ стало бы контрпримером.

Отсюда практический вывод: если вопрос — «наибольшее $A$ , при котором каждое кратное $L$ делится на $A$ », ответ — это само число $L$ (наибольший делитель числа всегда оно само). НОК считаем через разложение на простые множители:

\text{НОК}(p, q) = \frac{p \cdot q}{\text{НОД}(p, q)}

Например, для $p = 14 = 2 \cdot 7$ и $q = 4 = 2^{2}$ берём максимальную степень каждого простого множителя: $\text{НОК}(14, 4) = 2^{2} \cdot 7 = 28$ .

Если же параметр $A$ встречается не в предикате $\text{ДЕЛ}$ , а в числовом неравенстве (например, $x + A \ge 100$ ), делимость нужна только для того, чтобы описать множество «опасных» $x$ , а дальше применяется другой приём — переход к худшему случаю: неравенство должно выполняться для всех опасных $x$ , а значит — и для самого маленького из них (у неравенства $x + A \ge 100$ требование тем жёстче, чем меньше $x$ ). Наименьший подходящий $A$ находится подстановкой этого наименьшего опасного $x$ — разбор такого примера смотрите в примере 3 ниже.

Проверка полным перебором на Python

На КЕГЭ доступна среда программирования, и полный перебор — законный и самый надёжный способ проверить ручной разбор или решить задачу целиком, если аналитика не складывается. Шаблон для подтипа «делимость» — реализовать формулу дословно и перебрать $A$ и $x$ :

def DEL(n, m):
    return n % m == 0

def formula(x, A):
    return DEL(x, A) or (not DEL(x, 14)) or (not DEL(x, 4))

def tozhdestvenno_istinna(A, x_max):
    return all(formula(x, A) for x in range(1, x_max + 1))

best = 0
for A in range(1, 500):
    if tozhdestvenno_istinna(A, x_max=5000):
        best = A
print(best)

Как выбрать границу перебора x_max. Формулы с $\text{ДЕЛ}$ периодичны: значение $\text{ДЕЛ}(x, p)$ повторяется с периодом $p$ , а вся формула — с периодом, равным НОК всех делителей, встречающихся в условии. В заданиях банка эти числа не превышают нескольких сотен, поэтому $x_{\text{max}}$ в несколько тысяч (или сразу $10^5$ ) с большим запасом перекрывает десятки периодов — процессору это стоит долей секунды, а риск «не заметить» контрпример пропадает.

Для подтипа «отрезки» переменная $x$ непрерывна, перебрать все вещественные числа нельзя. Но поскольку границы всех отрезков в условии — целые, истинность формулы может поменяться только в целых точках, а внутри каждого промежутка между соседними целыми она постоянна. Значит достаточно проверить сами целые точки и середины промежутков между ними:

def in_segment(x, a, b):
    return a <= x <= b

def formula(x, a, b):
    D = in_segment(x, 17, 58)
    C = in_segment(x, 29, 80)
    A = in_segment(x, a, b)
    return (not D) or C or A

def tozhdestvenno_istinna(a, b, lo=0, hi=100, step=0.5):
    n = int((hi - lo) / step)
    return all(
        formula(lo + i * step, a, b) for i in range(n + 1)
    )

best = None
for a in range(0, 100):
    for b in range(a, 100):
        if tozhdestvenno_istinna(a, b):
            length = b - a
            if best is None or length < best:
                best = length
print(best)

Шаг перебора $0{,}5$ (половина целого) гарантированно ловит любой промежуток положительной длины между целыми границами, а диапазон $lo..hi$ нужно брать с запасом за пределы всех отрезков из условия. Такой перебор — не «запасной», а основной инструмент самопроверки: расхождение с ручным разбором на 1 почти всегда означает ошибку на границе (открытая/закрытая точка) или ту самую путаницу «длина против количества точек».

Алгоритм решения задания 15

Определите подтип. Есть в условии $\text{ДЕЛ}(n, m)$ — работаете с делимостью, НОД и НОК. Есть отрезки $x \in [a; b]$ — работаете с числовой прямой. Прочитайте вопрос до конца и выпишите, что именно ищете: наибольшее или наименьшее $A$ , и должна ли формула быть тождественно истинной или тождественно ложной.
Уберите импликации и эквивалентности. Раскройте каждую связку $\rightarrow$ и $\equiv$ через $\neg$ , $\land$ , $\lor$ по формулам из блока 2, применяя законы де Моргана к каждому отрицанию скобки.
Найдите условие лжи всей формулы. После упрощения формула обычно превращается в одну большую дизъюнкцию — она ложна, только когда ложны все её слагаемые одновременно. Выпишите это условие как систему на $x$ (или $x, y$ ).
Требуйте отсутствие решений. «Тождественно истинна» означает «система из шага 3 не имеет решений»; «тождественно ложна» — наоборот, «решение существует всегда». Для отрезков переведите систему в картинку (блок 3), для делимости — в условие на НОД/НОК (блок 4).
Найдите граничное значение A. Для отрезков — это координаты концов проблемной зоны. Для делимости — это само число $\text{НОК}$ (если ищете наибольшее $A$ , делящее его) или значение из решённого неравенства на худшем случае $x$ (если $A$ встречается вне $\text{ДЕЛ}$ ).
Проверьте соседние значения. Убедитесь, что $A$ на единицу больше (для «наибольшего») или меньше (для «наименьшего») уже ломает формулу — приведите конкретный $x$ , на котором она станет ложной. Это самый быстрый способ поймать ошибку в направлении неравенства.
Проверьте перебором в Python (шаблоны из блока 5) и запишите в ответ только число — без слов, знаков отрезка и пояснений.

Доведите приём до автоматизма

Прорешайте 10–15 заданий подряд — и переход от импликации к дизъюнкции перестанет требовать черновика. Задания ЕГЭ по информатике из банка ФИПИ с проверкой ответа — на Repet.ai.

Открыть тренажёр

Примеры с разбором

Пример 1. Делимость, наибольшее А

Условие (реальное задание из открытого банка ФИПИ):

Обозначим через ДЕЛ(n, m) утверждение «натуральное число n делится без остатка на натуральное число m». Для какого наибольшего натурального числа А логическое выражение $\neg \text{ДЕЛ}(x, A) \rightarrow (\text{ДЕЛ}(x, 14) \rightarrow \neg \text{ДЕЛ}(x, 4))$ истинно (т.е. принимает значение 1) при любом целом положительном значении переменной х?

Решение:

Шаг 1. Раскрываем внешнюю импликацию, где посылка — $\neg \text{ДЕЛ}(x, A)$ :

\neg(\neg \text{ДЕЛ}(x, A)) \lor (\text{ДЕЛ}(x, 14) \rightarrow \neg \text{ДЕЛ}(x, 4)) \;=\; \text{ДЕЛ}(x, A) \lor \neg \text{ДЕЛ}(x, 14) \lor \neg \text{ДЕЛ}(x, 4)

Шаг 2. Формула — дизъюнкция трёх слагаемых, она ложна только когда ложны все три: $x$ не делится на $A$ , но делится и на 14, и на 4. Тождественная истинность означает — таких $x$ быть не должно, то есть каждое число, кратное и 14, и 4, обязано делиться на $A$ .

Шаг 3. Числа, кратные 14 и 4 одновременно, — это кратные $\text{НОК}(14, 4)$ . Раскладываем: $14 = 2 \cdot 7$ , $4 = 2^{2}$ , значит:

\text{НОК}(14, 4) = 2^{2} \cdot 7 = 28

Шаг 4. Подставив $x = 28$ , получаем, что $A$ обязано быть делителем 28. Наибольший делитель числа — оно само, и он подходит: любое кратное 28 автоматически делится на 28.

def DEL(n, m):
    return n % m == 0

def formula(x, A):
    return DEL(x, A) or (not DEL(x, 14)) or (not DEL(x, 4))

best = 0
for A in range(1, 200):
    if all(formula(x, A) for x in range(1, 100000)):
        best = A
print(best)   # 28

Ответ: 28. Проверка здравым смыслом: 28 — это ровно $\text{НОК}(14, 4)$ , а не $14 \cdot 4 = 56$ (частая ошибка — перемножить делители вместо НОК) и не $\text{НОД}(14, 4) = 2$ (перепутать НОД и НОК).

Пример 2. Отрезки, наименьшая длина А

Условие (реальное задание из открытого банка ФИПИ):

На числовой прямой даны два отрезка: D = [17; 58] и C = [29; 80]. Укажите наименьшую возможную длину такого отрезка A, для которого логическое выражение $(x \in D) \rightarrow ((\neg(x \in C) \land \neg(x \in A)) \rightarrow \neg(x \in D))$ истинно (т. е. принимает значение 1) при любом значении переменной х.

Решение:

Шаг 1. Обозначим $d = (x \in D)$ , $c = (x \in C)$ , $a = (x \in A)$ . Формула: $d \rightarrow ((\neg c \land \neg a) \rightarrow \neg d)$ . Если $d = 0$ (точка вне $D$ ), внешняя импликация истинна автоматически — всё решается только внутри $D$ .

Шаг 2. Пусть $d = 1$ . Тогда $\neg d = 0$ , и внутренняя импликация $(\neg c \land \neg a) \rightarrow 0$ истинна только при ложной посылке. По де Моргану $\neg(\neg c \land \neg a) = c \lor a$ . Значит на всём отрезке $D$ должно выполняться $c \lor a$ — каждая точка $D$ лежит в $C$ или в $A$ .

Шаг 3. «Закрашиваем» числовую прямую: $C = [29; 80]$ накрывает часть $D$ от 29 до 58, а промежуток $[17; 29)$ остаётся непокрытым — это и есть проблемная зона, которую обязан целиком закрыть $A$ .

Шаг 4. Точки, сколь угодно близкие к 29 слева, всё ещё лежат в $D$ и не лежат в $C$ — значит, $A$ обязан содержать саму точку 29. Минимальный подходящий отрезок — $A = [17; 29]$ , его длина:

29 - 17 = 12

def in_segment(x, a, b):
    return a <= x <= b

def formula(x, a, b):
    D = in_segment(x, 17, 58)
    C = in_segment(x, 29, 80)
    A = in_segment(x, a, b)
    return (not D) or C or A

def ok(a, b, lo=0, hi=100, step=0.5):
    n = int((hi - lo) / step)
    return all(formula(lo + i * step, a, b) for i in range(n + 1))

best = None
for a in range(0, 100):
    for b in range(a, 100):
        if ok(a, b):
            length = b - a
            if best is None or length < best:
                best = length
print(best)   # 12

Ответ: 12. Проверка здравым смыслом: длина зоны, не покрытой $C$ , — это $29 - 17 = 12$ ; отрезок $A$ не обязан быть больше этой зоны, но и меньше быть не может — иначе рядом с точкой 29 останется непокрытая точка.

Пример 3. Делимость, наименьшее А в неравенстве

Условие (реальное задание из открытого банка ФИПИ):

Обозначим через ДЕЛ(n, m) утверждение «натуральное число n делится без остатка на натуральное число m». Для какого наименьшего натурального числа А формула $(\text{ДЕЛ}(x, 2) \rightarrow \neg \text{ДЕЛ}(x, 3)) \lor (x + A \ge 100)$ тождественно истинна (т. е. принимает значение 1) при любом натуральном значении переменной х?

Решение:

Шаг 1. Дизъюнкция ложна только тогда, когда ложны оба слагаемых. Раскрываем первое: $\text{ДЕЛ}(x, 2) \rightarrow \neg \text{ДЕЛ}(x, 3) \;=\; \neg \text{ДЕЛ}(x, 2) \lor \neg \text{ДЕЛ}(x, 3)$ . Эта импликация ложна, только когда $x$ делится и на 2, и на 3 — то есть $x$ кратно $\text{НОК}(2, 3) = 6$ .

Шаг 2. Значит второе слагаемое $x + A \ge 100$ обязано быть истинным для всех $x$ , кратных 6 (на остальных $x$ формула истинна и без него).

Шаг 3. Переход к худшему случаю: чем меньше $x$ , тем жёстче условие $x + A \ge 100$ . Наименьшее натуральное кратное шести — $x = 6$ , откуда:

6 + A \ge 100 \;\Rightarrow\; A \ge 94

При $A = 94$ для любого кратного 6 числа $x \ge 6$ выполнено $x + 94 \ge 100$ , значит наименьшее подходящее значение — 94.

def DEL(n, m):
    return n % m == 0

def formula(x, A):
    impl = (not DEL(x, 2)) or (not DEL(x, 3))
    return impl or (x + A >= 100)

for A in range(1, 200):
    if all(formula(x, A) for x in range(1, 10000)):
        print(A)   # 94
        break

Ответ: 94. Проверка здравым смыслом: если бы взяли не самое маленькое кратное шести, а, скажем, $x = 12$ , получили бы $A \ge 88$ — более слабое и потому неверное требование. Именно наименьший «опасный» $x$ задаёт ответ.

Типичные ошибки и ловушки

Спутали условие лжи импликации с «и» или «или»

Импликация $A \rightarrow B$ ложна ровно в одном случае — когда $A$ истинно, а $B$ ложно. Если считать её ложной «когда оба ложны» или «когда хотя бы одно ложно», всё последующее решение рассыпается с первого шага.

Не переключили связку при переносе отрицания

По де Моргану $\neg(P \land Q) \equiv \neg P \lor \neg Q$ : отрицание конъюнкции — это дизъюнкция отрицаний, а не конъюнкция. Оставить знак связки прежним — самая частая алгебраическая ошибка в задании 15.

В отрезках посчитали длину как количество целых точек

Длина отрезка $[a; b]$ равна $b - a$ , а число целых точек в нём — $b - a + 1$ , на единицу больше. Ответ «на единицу не совпал с ключом» почти всегда означает именно эту путаницу.

Не учли точку на самой границе отрезка

Точки, сколь угодно близкие к границе соседнего отрезка, всё ещё требуют покрытия — значит, отрезок $A$ обязан включать саму граничную точку, даже если формально «на бумаге» кажется, что до неё чуть-чуть не хватает. Проверяйте предельный случай отдельно.

В делимости перепутали НОД и НОК

Условие «делится и на p, и на q» — это всегда $\text{НОК}(p, q)$ , а не $\text{НОД}(p, q)$ и не произведение $p \cdot q$ . Разложите оба числа на простые множители и берите максимальную степень каждого — так ошибиться сложнее, чем при устном подборе.

Перепутали «наибольшее» и «наименьшее»

Это не мелочь: наибольшее $A$ и наименьшее $A$ в одной и той же формуле — почти всегда разные числа и разные ходы решения. Подчеркните нужное слово в условии перед тем, как начинать считать.

Взяли слишком маленький диапазон при проверке перебором

Формулы с $\text{ДЕЛ}$ периодичны с периодом, равным НОК всех делителей условия. Если $x_{\text{max}}$ в коде меньше одного периода, перебор может «не заметить» контрпример и подтвердить неверный ответ. Берите диапазон заведомо с запасом — это почти бесплатно по времени выполнения.

Как задание 15 связано с остальным экзаменом

Всего в КЕГЭ по информатике 27 заданий с кратким ответом, все проверяются автоматически, частей в работе нет. Максимальный первичный балл за всю работу — 29, на работу отводится 235 минут. Задание 15 занимает в этой конструкции особое место:

оно входит в раздел «Теоретические основы информатики» — самый крупный раздел кодификатора КЕГЭ, 11 заданий и 11 первичных баллов;
делит код кодификатора 2.7 с заданием 2 — там тоже логика, но базового уровня: таблицы истинности и логические схемы без параметра $A$ и без квантора «при любом x». Задание 15 — усложнённое продолжение той же темы;
соседствует по уровню сложности с заданием 14 (позиционные системы счисления) — оба повышенного уровня, оба требуют не быстрого счёта, а аккуратного структурного анализа условия;
не стоит путать с заданиями 19–21 (анализ игр) — там тоже логический анализ, но код кодификатора другой (2.15), а вопрос не про тождественную истинность формулы, а про выигрышную стратегию в игре с двумя игроками.

Задание 2 — таблицы истинности Задание 14 — системы счисления Все задания ЕГЭ по информатике Пробный экзамен КЕГЭ

План подготовки на 2 недели

Неделя 1 — алгебра логики и приёмы

День 1–2: выучите таблицу истинности импликации и формулу $A \rightarrow B \equiv \neg A \lor B$ наизусть, потренируйтесь раскрывать отрицание импликации и законы де Моргана на 10–15 коротких формулах без параметра $A$ . День 3–5: разберите метод «закрасить числовую прямую» на 5–7 простых отрезках (два-три отрезка в условии, целые границы). День 6–7: разберите приём НОД/НОК на 5–7 задачах делимости, каждый раз проверяя решение перебором в Python.

Неделя 2 — реальные задания и скорость

День 1–3: решайте задания из открытого банка вперемешку — оба подтипа, оба направления («наибольшее» и «наименьшее»), сверяя каждое ручное решение с перебором. День 4–5: отдельно потренируйте пограничные случаи — открытая/закрытая точка на стыке отрезков, наименьший «опасный» $x$ в задачах с неравенством. День 6–7: работайте на время — не больше 3 минут на задание, и проверьте себя в тренажёре на заданиях из банка ФИПИ.

Проверьте себя на реальных заданиях

На Repet.ai собраны задания ЕГЭ по информатике из открытого банка ФИПИ. Решайте онлайн, проверяйте ответ мгновенно и разбирайте решение — бесплатно.

Перейти к практике

Частые вопросы

Часто задаваемые вопросы

Математическую логику — умение работать со связками ¬, ∧, ∨, →, ≡, строить таблицы истинности и находить наибольшее или наименьшее натуральное число A, при котором сложная логическая формула с предикатом остаётся истинной (или ложной) при любом значении переменной. В кодификаторе это элемент содержания 2.7, раздел «Теоретические основы информатики».

1 первичный балл по принципу «всё или ничего»: ответ либо полностью совпадает с эталоном, либо задание оценивается в 0. По обобщённому плану ФИПИ на задание 15 отводится 3 минуты. Уровень сложности — повышенный.

Ровно в одном случае: когда посылка A истинна, а следствие B ложно. Во всех остальных трёх комбинациях (0-0, 0-1, 1-1) импликация истинна. Именно на этом факте строится решение почти любой формулы задания 15: вместо поиска, когда формула истинна, ищут, когда она ложна, а затем требуют отсутствия таких x.

Методом «закрасить числовую прямую»: нарисовать все заданные отрезки, определить, какая часть обязательного отрезка уже покрыта другими условиями формулы, и найти минимальный (или по условию — максимальный) отрезок A, который целиком закрывает оставшуюся непокрытую часть. Точки, сколь угодно близкие к границе соседнего отрезка, всё ещё требуют покрытия — поэтому границу нужно включать в A.

Через НОД и НОК. Если формула требует, чтобы каждое число, делящееся одновременно на p и на q, делилось ещё и на A, такие числа — это в точности кратные НОК(p, q). Наибольшее подходящее A равно самому числу НОК(p, q) — оно и есть наибольший делитель самого себя. Если A входит не в предикат ДЕЛ, а в числовое неравенство, задачу решают через наименьший или наибольший «опасный» x.

Длина отрезка [a; b] равна b − a. Количество целых точек в этом же отрезке равно b − a + 1, то есть на единицу больше. Задание 15 всегда спрашивает про длину, а не про количество точек — подмена этих двух чисел даёт ответ, отличающийся от правильного ровно на 1.

Да, это законный и надёжный способ. Для делимости перебирают A и проверяют формулу на диапазоне x с запасом в несколько периодов (период равен НОК всех делителей условия). Для отрезков с целыми границами достаточно проверить целые точки и середины промежутков между ними, поскольку истинность формулы меняется только на границах отрезков.

Ответ — одно натуральное или целое неотрицательное число, без слов, единиц измерения, знака «А =» и других пояснений. Как и во всех заданиях 1–25 КЕГЭ, ответ либо полностью совпадает с эталоном, либо считается неверным — частичного зачёта на задании 15 нет.

Готовы взять балл повышенного уровня?

Задание 15 держится на нескольких приёмах: таблица истинности импликации, равносильные преобразования, «закрасить числовую прямую» для отрезков и НОД/НОК для делимости. Отработайте их на реальных заданиях из открытого банка ФИПИ с мгновенной проверкой ответа — и математическая логика перестанет быть лотереей.

Тренировать задание 15 Задание 14 — системы счисления Все задания ЕГЭ по информатике