Задание 5 ЕГЭ по математике (профиль): теоремы о вероятностях

Задание 5 профильного ЕГЭ по математике — вероятности составных событий. Здесь важно различать «оба», «хотя бы одно» и «ровно одно», а также проверять независимость событий. Начните с четырёх заданий из банка ФИПИ ниже. Затем разберите теоремы сложения и умножения, деревья событий и примеры решений.

Задания ФИПИ: вероятности

Четыре задания 5 из банка ФИПИ. Выберите подходящее правило вероятности и проверьте свой расчёт.

Загружаем задания ФИПИ…

Что проверяет задание 5

Задание проверяет умение работать с составными случайными событиями: понять, какие события независимы, какие несовместны, и применить нужную теорему. Что нужно уметь:

Параметр	Значение
Максимальный балл	1 первичный (0 — при любом неверном ответе)
Уровень сложности	Повышенный
Формат ответа	Число от 0 до 1 (целое или конечная десятичная дробь)
Раздел	Теория вероятностей (теоремы сложения и умножения)
Рекомендуемое время	4–7 минут
Связанные задания	4 (классическая вероятность $P=m/n$ ), 6 (случайная величина)

Тренируйтесь на реальных заданиях

Задания 5 ЕГЭ по математике из открытого банка ФИПИ с мгновенной проверкой ответа и разбором. Решаем, ошибаемся, разбираем — бесплатно.

Решать задание 5

Как выглядит формулировка

ФИПИ описывает ситуацию, в которой случайное событие складывается из нескольких более простых. Ключ к решению — распознать, какие из них нужно перемножить, а какие сложить. Примеры:

Что нужно знать

Всё задание 5 держится на четырёх инструментах: теорема умножения, теорема сложения, переход к противоположному событию («хотя бы один») и формула полной вероятности. Разберём каждый.

Теорема умножения (независимые события)

События независимы, если наступление одного не меняет вероятность другого (разные выстрелы, разные лампы, разные броски). Вероятность того, что произойдут и $A$ , и $B$ , равна произведению их вероятностей:

P(A \cap B) = P(A)\cdot P(B)

Дерево из двух независимых событий: вероятность ветки равна произведению P(A) и P(B) — Теорема умножения: вероятность того, что произойдут оба независимых события, равна произведению их вероятностей — P(A)·P(B)

Слово-подсказка — «и» («попал и попал и промахнулся»). Для серии из $n$ независимых событий перемножаются все $n$ вероятностей.

Теорема сложения

Вероятность того, что произойдёт хотя бы одно из событий ( $A$ или $B$ ), считается так:

P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A\cap B)

Диаграмма Венна: два пересекающихся круга A и B, пересечение выделено — Теорема сложения: P(A или B) = P(A) + P(B) − P(A и B). Пересечение вычитают, чтобы не учесть его дважды

Пересечение $P(A\cap B)$ вычитают, чтобы не посчитать его дважды. Если события несовместны (не могут произойти вместе, $P(A\cap B)=0$ ), формула упрощается:

P(A \cup B) = P(A) + P(B)

Слово-подсказка — «или».

«Хотя бы один» через противоположное событие

Считать «хотя бы один» напрямую сложно — вариантов много. Гораздо проще найти вероятность противоположного события «ни одного» и вычесть из единицы:

P(\text{хотя бы один}) = 1 - P(\text{ни одного})

Событие «ни одного» — это «и не первый, и не второй, и не третий», то есть произведение. Например, для трёх независимых ламп с вероятностью перегорания $0{,}2$ : «перегорят все три» — $0{,}2^3 = 0{,}008$ , а «хотя бы одна не перегорит» — $1 - 0{,}008 = 0{,}992$ .

Формула полной вероятности

Иногда событие может наступить несколькими путями, которые исключают друг друга (батарейка либо исправна, либо нет; игрок ходит белыми либо чёрными). Тогда вероятность каждого пути — произведение вдоль ветки, а итог — сумма этих произведений:

P = P(H_1)\cdot P(A\mid H_1) + P(H_2)\cdot P(A\mid H_2) + \ldots

Дерево полной вероятности: событие наступает по двум путям, итог — сумма произведений вдоль ветвей — Формула полной вероятности: событие наступает по нескольким несовместным путям, итоговая вероятность — сумма произведений вдоль каждой ветки

На практике формулу не обязательно помнить наизусть — достаточно нарисовать дерево: умножаем вдоль ветки, складываем благоприятные ветки.

Основные типы заданий 5

В банке ФИПИ задание 5 встречается в нескольких устойчивых «обёртках». Узнав тип, вы сразу понимаете, что складывать, а что умножать:

Серия независимых испытаний
Биатлонист стреляет, в каждом выстреле своя вероятность. Перемножаем вероятности всех шагов (для промахов берём $1-p$ ).
«Хотя бы один»
Лампы, батарейки, попадания. Считаем через противоположное: $1 - P(\text{ни одного})$ .
Сложение совместных событий
Два кофейных автомата, известна вероятность «обоих сразу». Работаем через формулу $P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$ .
Полная вероятность (несколько путей)
Система контроля бракует и брак, и (по ошибке) годные изделия. Рисуем дерево, умножаем вдоль ветвей, складываем.
Комбинаторика: выбор двух предметов
«Один синий и один красный фломастер». Учитываем оба порядка извлечения и складываем вероятности (умножение + сложение).

Алгоритм решения задания 5

Выпишите простые события и их вероятности. Что именно происходит случайно и с какой вероятностью (попадание, перегорание, брак).
Определите связь между событиями. Нужны оба сразу — это «и» (умножаем). Достаточно одного — это «или» (складываем). Независимы ли они?
Найдите слова-ловушки. «Хотя бы один» — переходите к противоположному $1-P(\text{ни одного})$ . Несколько путей — стройте дерево.
Посчитайте по теореме. Перемножьте вдоль ветки, сложите благоприятные ветки. Не забудьте про $1-p$ для «не произошло».
Проверьте и округлите. Вероятность обязана быть от 0 до 1. Округляйте ровно с той точностью, которую просят.

Путаете, когда складывать, а когда умножать?

Прорешайте 10–15 заданий 5 подряд — связки «и → умножаем», «или → складываем» быстро становятся автоматическими. На Repet.ai к каждому заданию есть проверка ответа и разбор.

Открыть тренажёр

Примеры с разбором

Пример 1. Теорема умножения: серия выстрелов

Решение

Выстрелы независимы. Вероятность попадания — $0{,}8$ , промаха — $1 - 0{,}8 = 0{,}2$ . Нужно, чтобы произошли все пять событий подряд (три попадания и два промаха) — значит, перемножаем:

P = 0{,}8 \cdot 0{,}8 \cdot 0{,}8 \cdot 0{,}2 \cdot 0{,}2 = 0{,}02048

Ответ: 0,02. Округляем до сотых, как просят в условии. Важно: порядок задан жёстко («первые 3, последние 2»), поэтому ровно одна комбинация — без дополнительных множителей.

Пример 2. «Хотя бы один» через противоположное событие

Решение

«Хотя бы одна не перегорит» — противоположное событию «перегорят все три». Лампы независимы, поэтому вероятность, что перегорят все три, — произведение:

P(\text{все перегорят}) = 0{,}2 \cdot 0{,}2 \cdot 0{,}2 = 0{,}008

Тогда искомая вероятность:

P = 1 - 0{,}008 = 0{,}992

Ответ: 0,992. Считать «хотя бы одна» напрямую пришлось бы перебором семи случаев — переход к противоположному событию решает задачу в одну строчку.

Пример 3. Теорема сложения: два автомата

Решение

Пусть $A$ — «кофе закончится в первом», $B$ — «во втором». По условию $P(A) = P(B) = 0{,}3$ , а «закончится в обоих» — это $P(A\cap B) = 0{,}12$ . По теореме сложения находим «закончится хотя бы в одном»:

P(A \cup B) = 0{,}3 + 0{,}3 - 0{,}12 = 0{,}48

«Кофе останется в обоих» — это противоположное событию «закончится хотя бы в одном»:

P = 1 - 0{,}48 = 0{,}52

Ответ: 0,52. Главное — не забыть вычесть пересечение $0{,}12$ : иначе автомат, в котором кофе закончилось, посчитается дважды.

Пример 4. Формула полной вероятности: контроль качества

Условие (реальное задание из банка ФИПИ)

Автоматическая линия изготавливает батарейки. Вероятность того, что готовая батарейка неисправна, равна 0,02. Перед упаковкой каждая батарейка проходит систему контроля. Вероятность того, что система забракует неисправную батарейку, равна 0,99. Вероятность того, что система по ошибке забракует исправную батарейку, равна 0,01. Найдите вероятность того, что случайно выбранная изготовленная батарейка будет забракована системой контроля.

Решение

Батарейку забракуют в двух несовместных случаях. Первый: она неисправна ( $0{,}02$ ) и система верно её забраковала ( $0{,}99$ ). Второй: она исправна ( $1-0{,}02 = 0{,}98$ ) и система ошиблась ( $0{,}01$ ). Умножаем вдоль каждой ветки и складываем:

P = 0{,}02 \cdot 0{,}99 + 0{,}98 \cdot 0{,}01 = 0{,}0198 + 0{,}0098 = 0{,}0296

Ответ: 0,0296. Это и есть формула полной вероятности: внутри ветки — «и» (умножаем), между ветками — «или» (складываем).

Пример 5. Комбинаторика: выбор двух предметов

Решение

Всего фломастеров $10 + 9 + 6 = 25$ . Порядок не задан, поэтому возможны два сценария. «Сначала синий, потом красный» — вероятность $\tfrac{10}{25}\cdot\tfrac{9}{24}$ (после первого фломастера осталось 24). «Сначала красный, потом синий» — $\tfrac{9}{25}\cdot\tfrac{10}{24}$ . Складываем:

P = \frac{10}{25}\cdot\frac{9}{24} + \frac{9}{25}\cdot\frac{10}{24} = 2\cdot\frac{90}{600} = 0{,}3

Ответ: 0,3. Здесь видны оба правила сразу: внутри сценария вероятности перемножаются («и»), а два сценария складываются («или»).

Типичные ошибки и ловушки

Сложить там, где надо умножить
«И» — это умножение, «или» — сложение. «Попал и попал» — $0{,}8\cdot 0{,}8$ , а не $0{,}8 + 0{,}8$ (что дало бы $1{,}6 > 1$ ). Перепутать связку — самая частая ошибка.
Забыть про для «не произошло»
Промах — это $1 - 0{,}8 = 0{,}2$ , а не $0{,}8$ . В сериях испытаний для каждого «не случилось» берите дополнение к единице.
Не вычесть пересечение в теореме сложения
Для совместных событий $P(A\cup B) = P(A)+P(B)-P(A\cap B)$ . Пропустив $-P(A\cap B)$ , вы посчитаете общую часть дважды.
Считать «хотя бы один» напрямую
Перебор всех вариантов «один, два, три…» долог и ведёт к ошибкам. Почти всегда быстрее $1 - P(\text{ни одного})$ .
Забыть второй порядок в комбинаторных задачах
«Один синий и один красный» — это два сценария (синий→ красный и красный→синий). Учтя лишь один, занизите ответ вдвое.

Чем задание 5 связано с заданием 4

Задание 4 — это «фундамент»: один опыт и классическое определение $P = m/n$ , плюс противоположное событие $P(\bar A) = 1 - P(A)$ . Задание 5 — это надстройка: те же вероятности теперь нужно комбинировать по теоремам сложения и умножения. Приём с противоположным событием, который в задании 4 помогал со словом «не», в задании 5 превращается в главный инструмент для «хотя бы один». Поэтому, прочно закрыв задание 4, вы получаете готовую базу для задания 5 — остаётся освоить четыре теоремы.

Задание 4: классическая вероятность Решать задание 5 онлайн

План подготовки на неделю

Дни 1–3 — две теоремы и слова-подсказки

Выпишите на карточку связки: «и» → умножаем ( $P(A)\cdot P(B)$ ), «или» → складываем ( $P(A)+P(B)-P(A\cap B)$ ), «хотя бы один» → $1 - P(\text{ни одного})$ . Каждый день решайте по 8–10 задач одного типа: сначала серии испытаний, потом «хотя бы один», потом сложение. Цель — мгновенно узнавать тип по формулировке.

Дни 4–7 — дерево и аккуратность

Добавьте задачи на полную вероятность (контроль качества, выбор фигур) и обязательно рисуйте дерево: умножаем вдоль ветки, складываем благоприятные ветки. Решайте вперемешку, проверяйте $0 \le P \le 1$ и аккуратно округляйте. После каждой серии разбирайте ошибки на Repet.ai.

Проверьте себя на реальных заданиях

На Repet.ai собраны задания 5 ЕГЭ по математике из банка ФИПИ. Решайте онлайн, проверяйте ответ мгновенно и разбирайте решение — бесплатно.

Перейти к практике

Частые вопросы

Часто задаваемые вопросы

1 первичный балл по принципу «всё или ничего»: верный ответ — 1 балл, любой другой — 0. Это надёжный балл, если уверенно владеть теоремами сложения и умножения.

В задании 4 событие простое и решается одной формулой P = m/n. В задании 5 событие составное: его нужно собрать из нескольких простых с помощью теорем сложения и умножения, перехода к противоположному событию или формулы полной вероятности.

Ориентируйтесь на связку. «И» (произошли оба события) — умножаем: P(A и B) = P(A)·P(B) для независимых. «Или» (произошло хотя бы одно) — складываем: P(A или B) = P(A) + P(B) − P(A и B). Для несовместных событий пересечение равно нулю.

Почти всегда удобнее перейти к противоположному событию «ни одного» и вычесть его из единицы: P(хотя бы один) = 1 − P(ни одного). Например, для трёх ламп с вероятностью перегорания 0,2 «хотя бы одна не перегорит» = 1 − 0,2³ = 0,992.

Если событие может наступить несколькими взаимоисключающими путями, нарисуйте дерево. Вдоль каждой ветки вероятности перемножаются (это «и»), а вероятности разных благоприятных веток складываются (это «или»). Например, для брака батареек: 0,02·0,99 + 0,98·0,01 = 0,0296.

Записывайте ответ ровно с той точностью, которая указана в условии (например, «до сотых»). Если получается конечная дробь без указания округлять — пишите её полностью (например, 0,0296). Неверное округление — частая причина потери балла.

Да. На Repet.ai в разделе ЕГЭ по математике загружены задания 5 из открытого банка ФИПИ. Вы решаете задание онлайн, сразу видите, верный ли ответ, и можете разобрать решение по шагам.

Готовы закрыть задание 5 на автомате?

Теоремы о вероятностях — это предсказуемый балл: всё держится на связках «и → умножаем», «или → складываем» и приёме с противоположным событием. На Repet.ai собраны реальные задания из банка ФИПИ с проверкой ответа и разбором. Решайте, ошибайтесь, разбирайте — и за неделю доведёте навык до автоматизма.

Тренировать задание 5 Назад: задание 4 Все задания ЕГЭ по математике